高等数学第五节详解.ppt

一、问题的提出 小结 （1）、直角坐标系情形 （2）、极坐标系情形 小结 （2）、旋转体的体积 小结 注意: 例 计算圆 五、函数的平均值 解 解 解 体积元素为 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 四 旋转体的侧面积 考虑一个旋转体，它的侧面是由区间 所对应的连续曲线 绕 轴旋转 而成的曲面，求此旋转曲面的侧面积。 由于此小窄带状侧面是由的一小弧段旋转成的，故小窄带状侧面面积可以近似看成长为 ，宽 的矩形面积。故 侧面积元素 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为 的线性主部 . 不是薄片侧面积△S （文献） x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h ? 2 R 时, 得球的表面积公式 * * 第五节 定积分的几何应用 一 微元法 二 平面图形的面积 三 立体的体积 四 旋转曲面的侧面积 五函数的平均值 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值 （4） 求极限，得A的精确值 元素法的步骤 这个方法通常叫做元素法． (注意：微元法的精度要求) 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 思考题 微元法的实质是什么？ 思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限. 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 二 平面图形的面积 解 两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解 两曲线的交点 选 为积分变量 于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量只能选 吗？ 解 两曲线的交点 选 为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 面积元素 曲边扇形的面积 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 解 利用对称性知 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积. （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算） 思考题 思考题解答 x y o 两边同时对 求导 积分得 所以所求曲线为 （1）、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 三 立体的体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 x y o 旋转体的体积为 解 直线 方程为 曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。 （1）把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第 个小窄曲边梯形的面积为，则. （2）计算的近似值 例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 例2 计算由曲线和所围成的图形的面积. 例3 计算由曲线和直线所围成的图形的面积. 例4 求椭圆的面积. 设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里， 在上连续，且． 例5 求双纽线所围平面图形的面积. 例6 求心形线所围平面图形的面积. 设曲线过原点及点，且为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴和曲线围成的面积是另一条平行线与轴和曲线围成的面积的两倍，求曲线方程. 因为曲线过点 因为为单调函数 一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为， 在上任取小区间， 取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素， 例1 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形．将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积． 取积分变量为， 在上任取小区间， 以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为 圆锥体的体积 例2 求星形线绕轴旋转 构成旋转体的体积. 旋转体的体积 类似地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为 例3 求摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、轴旋转构成旋转体的体积. 绕轴旋转的旋转体体积 绕轴旋转的旋转体体积 可看作平面图与 分别绕轴旋转构成旋转体的体积之差. 例4 求由曲线及所围成的图形绕直线旋转构成旋转体的体积. 取积分