高中数学3-1-3空间向量的数量积运算课件新人教A版选修B.ppt

课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律． 掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． 3.1.3 空间向量的数量积运算 【课标要求】 【核心扫描】 空间向量的数量积运算．(重点) 利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 空间向量数量积的运算律．(易错点)  1． 2． 1． 2． 3． 1．空间向量的夹角 自学导引 定义 记法 ______ 范围 _____．当〈a，b〉＝ 时，_____ 〈a，b〉 [0，π] a⊥b 想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？ 提示　〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 2． 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝______ 交换律 a·b＝____ 分配律 a·(b＋c)＝________ λ(a·b) b·a a·b＋a·c (3)数量积的性质 两个向量数量积的性质 (1)若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0. (2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ (3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ . (4)|a·b|≤|a|·|b|. 想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示　数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积． 空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； 名师点睛 平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同． 1． 2． 空间向量数量积的应用 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决． (2)a⊥b?a·b＝0，用于判断两个向量的垂直． (3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．  3． 注意：①数量积运算不满足消去律 若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc?a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)?/ a＝c. ②数量积运算不满足结合律 数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．  题型一　利用数量积求夹角 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值． 【例1】 规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补． 如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值． 【变式1】 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 题型二　利用数量积求两点间的距离 【例2】 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离． 【变式2】 (12分)已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC. 题型三　利用数量积证明垂直关系 【例3】 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练