2.6无穷小和无穷大.ppt

§2.6 无穷小与无穷大 一、无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 1. 例如, 注意 1. 无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2. 零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 意义 1. 将一般极限问题转化为特殊极限问题; (无穷小) 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 1. 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 不是无穷大． 无界， 证 笑话 一个老师教一个学生数学, 证明了如下算式: 为检验学生是否真的理解,又出一题,得如下答案: 三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论. 四、无穷小的比较 不同极限, 应该能反映趋向于零的“快慢”程度. 观察极限 ⒈ 定义： 例1 解 例2 解 例3 确定下列无穷小的阶 ⑴ ⑵ ⑶ 2阶 1阶 ⒉定义： 例4 ⑴ 2阶无穷大（无穷大量看高阶） ⑵ 2阶无穷大 ⒊ 常用记号： 定义： 例5 解 五、等价代换定理 证明： 在乘除运算中，用等价无穷小（大）代换相应的因子， 极限不变. 常用等价无穷小: 例6 解 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意 例7 解 解 错 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 例8 六、运算规则 ⒈ ⒉ ⒊ ⒋ ⒌ ⒍ ⒎ 作业 习题2.6 1 (5)(9)(14)； 3 (2)(5). 定理1 其中是当时的无穷小. 定义2 如果对于(无论多大),总 (或),使得对于适合不等式 (或)的一切,都有,则称函数 当(或)时为无穷大, 记作