三角函数、解三角形第5讲-两角和与差的正弦、余弦和正切)课件.ppt

第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切 cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α (1?tan αtan β) 【201年高考会这样考】 1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值． 2．利用三角公式考查角的变换、角的范围．【复习指导】 本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．　　 基础梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝； (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝； (4)S(α－β)：sin(α－β)＝； (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； (6)T(α－β)：tan(α－β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin 2α＝； (2)C2α：cos 2α＝＝＝； (3)T2α：tan 2α＝ . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)； (2)cos2α＝ ，sin2α＝ ； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是(　　)A．2cos2 －1 B．1－2sin275° C. D．sin 15°cos 15° 解析　2cos2－1＝cos＝；1－2sin275°＝cos 150°＝－；＝tan 45°＝1；sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 答案　D 解　原式＝ ＝＝＝cos 2x. 2．(2011·福建)若tan α＝3，则的值等于(　　)． A．2 B．3 C．4 D．6 解析　＝＝2tan a＝2×3＝6，故选D. 答案　D 3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 答案　B 4．(2011·辽宁)设sin＝，则sin 2θ＝(　　)． A．－ B．－C. D. 解析　sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－. 答案　A 5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20° tan 40°＝________. 解析　tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°·tan 40°，原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案　　 面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论． 二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角． 【示例】 (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β(0，π)，求2α－β的值． 考向一　三角函数式的化简 【例1】化简. [