第四章约束问题最优化方法.ppt

§4.1 引言 §4.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法） 例： 用外点法求解下列有约束优化问题 §4.4 混合惩罚函数法 §4.5 随机方向有哪些信誉好的足球投注网站法 §4.6 复合形法 §4.7 可行方向法 六. 方法评价： 优点： 对目标函数无性态要求； 收敛快（当m足够大时）； 不受维数影响，维数愈高，愈体现优点。 缺点： 对于严重非线性函数，只能得近似解； 当m不够大时，解的近似程度大； 对于非凸函数，有可能收敛于局部解。 复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直接方法。它来源于用于求解无约束非线性最优化问题的单纯形法，实际上是单纯形法在约束问题中的发展。 在求解无约束问题的单纯形法中，不需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点井比较各顶点处目标函数值的大小，来寻找下一步的探索方向的。 在用于求解约束问题的复合形法中，复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下降，还应当满足所有的约束条件。 一. 单纯形法： 定义： 基本思想： 以一个目标函数值较小的新点，代替原单纯形中目标函数值最大的顶点，组成新的单纯形，这样不断地迭代，单纯形逐渐逼近最优点。 以二维空间中的映射法为例： X(1)=X(H) X(2) X(3) X(S) X(R)=X(4) X(5) X(6) 在 n 维空间中，由n+1个点组成的图形称单纯形。 X* 二. 复合形法： 定义： 在 n 维空间中，由 k≥n+1 个点组成的多面体称为复合形。 基本思想： 说明： 单纯形是无约束优化方法，而复合形可用于约束优化的方法。 因为顶点数较多，所以比单纯形更灵活易变。 复合形只能解决不等式约束问题。 因为迭代过程始终在可行域内进行，运行结果可靠。 在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，去掉目标函数值最大的顶点（称最坏点），然后按一定法则求出目标函数值下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的复合形，复合形就向最优点移动一步，直至逼近最优点。 三. 迭代方法： 1. 映射法： 例：二维空间中，k=4，复合形是四面体 x(1)x(2)x(3)x(4)，计算得： f (x(1) ) f (x(2) ) f (x(3) ) f (x(4) ),确定最坏点 x(H)= x(4) ，次坏点 x(G) = x(3) ，最好点 x(L) = x(1) 。 x(S)为除x(H)以外，各点的几何中心。 有哪些信誉好的足球投注网站方向：沿 x(H)→ x(S) 的方向。 步长因子（映射系数）α： α1，建议先取1.3。 映射迭代公式： x(R) = x(S) + α(x(S) — x(H) ) 若求得的 x(R) 在可行域内，且 f (x(R) ) f (x(H) )，则以x(R)代替x(H)组成新复合形，再进行下以轮迭代。 ● X(S) X(R) 2. 变形法一 —— 扩张法： 变形法二 —— 收缩法： ● X(S) X(R) 四. 初始复合形的形成： 人工选择初始复合形： 对于维数较低的优化问题，由于顶点数目较少，可试凑几个可行点作为复合形的顶点。 随机产生初始复合形： 对于维数较高的问题，采用随机方法，先产生K个随机点，然后再把非可行点逐一调入可行域内。 复合形的顶点K通常取n+1≤K≤2n个。 ①、产生K个随机点: ② 将非可行点调入可行域 判断产生的K个随机点是否在可行域内，重新排列，将可行点依次排在前面，如有q个顶点X (1)、X (2)、……X (q)是可行点，其它K-q个为非可行点。 对X (q+1)，将其调入可行域的步骤是： （1）计算q个点集的中心X (s)； （2）将第q+1点朝着点X (s)的方向移动，按下式产生新的X (q+1)，即X(q+1)= X(s)+0.5 (X(q+1)—X(s)) 这个新点X(q+1)实际就是X(s)与原X(q+1)两点连线的中点，如图。若新的X(q+1)点仍为非可行点，按上式再产生X(q+1)，使它更向X(s)靠拢，最终使其成为可行点。 按照这个方法，同样使X (q+2)、X (q+3)、……X (K)都变为可行点，这K个点就构成了初始复合形。 若可行域是非凸集，可能失败，需减小上、下界再进行。 五. 步骤： * * 无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要