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中学数学研究 2012年第 7期 由2011年高考浅谈 四点共圆问题的解决方法 陕西成阳师范学院数学与信息科学学院 (712000) 刘再平 2011年高考虽早已Jl~ ]1落下帷幕 ，但留下余味 (2)由题易知点P(一2，一1)，则点 Q( ，1)． 无穷，通过细细品味，一个很重要的问题浮在 了笔者 眼前，它就是四点共 圆问题．2011年的高考数学试 卷有五道题都与此相关，且有四道是大题，这使得笔 所以，PQ的垂直平分线 为：y=一 ． 者兴趣盎然，通过思考，笔者认为解决四点共 圆问题 至少有以下八种方法可以借鉴．遂写下拙文，供读者 参考． 将直线方程与椭圆c联立：iz+譬：1 方法一：若某定点到四点的距离相等，则该四点 共圆． 例 1(2011年大纲全国卷．理 科第2l题)如右图，已知0为坐标 x2 - 4 2 原点，F为椭圆C： + =1在Y ， 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 一 的直线 与 c交与A、B两点， ( ， ( ，-2／％． 点P满足o,4+OB+OP ：0． 设A 的中点为 Ⅳ，则 Ⅳ( ，1) (1)证明：点P在 C上 ； ． (2)设点P关于点0的对称点为Q，证明：A、P、 B、Q四点在同一圆上． 所以，AB的垂直平分线L为：y= +寺． 证 明一：(1)略． = 0在区间(0，6)内的解最少有 ( ) 在R上的奇函数，且Y= )关于直线 =÷对称， A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 厶 解 ：．‘．厂()是定义在R上的以3为周期的奇函 则，(1)十 2)十 3)+，(4)+ 5)=— — ． 数，．．‘I厂(5)= 2)=0 2)=，(一1)=0，又，(一 解 ：Y=-厂()是定义在尺上的奇函数，且关于直 1 1)= 1)，．．‘1)=0，．．‘4)=0，又-厂(0)=0， 线 =÷对称，由定理3可知此函数是以2为周期的 二 · ． ． _厂(3)=0，又根据条件及定理 2可知，函数Y= ， 、 周期函数，所 以-厂(2)= 4)= 0)=0 1)= )关于(÷，0)对称，．．·1．5)=0，从而 4．5) 、 二 ， ，(3)=厂(5)，又图像关于直线 =÷对称，易知