一.函数的和、差、积、商的导数.pptVIP

* 一. 函数的和、差、积、商的导数： 定理: 设函数 u = u(x) 及 v = v(x) 在点 x 可导, 由 (1) (2) 可推广到有限 则他们的和差积商在点 x 也可导，且有 初等函数的导数 2. 例题: 例1. 已知 求 解: 例2. 求 的导数 解: 例3. 求 的导数 解 例4. 求 的导数 解: 例5. 设 求 解: 显然用公式(2)非常麻烦, 同理 例6. 设 求 解: janson: 由导数定义 例7 求 解 二. 反函数的导数 1. 定理: 设单调连续函数 在区间 (a, b) 内可导, 则它的反函数 在对应的区间 (c , d) 内也可导, 且 且 2. 例题 例1. 求 的导数 解: 是 其反函数, 在 单调连续且有导数 因 , 所以 的导数 例2. 求 解: 是 的反函数, 内单调, 在 由反函数求导法则 连续且有导数 且 内有 在区间 三. 复合函数的导数 设函数 在点 x可导, 可导, 在对应点 在点 x 也可导, 1.定理: 则复合函数 且 特别地 复合函数求导公式还可以写成下列形式: 或 或 它可推广到多个中间变量的情形. 则 复合函数求导法则又叫链导法, 若设 2. 例题 例1. 设 (a , b 为常数) 求 解: 设 的导数 例2.求 解: 例3. , 求 解: , 求 例4。 （u为任意实数） 解: , 求 例5. 解: 同理： 例6. , 求 解: 由 可得 由 可得 求 解: 时， 例7. 时， 不论x0 或 x0, 例8. , 求 解: 例9 求 解 例10 求 求 例11. 解: 注 ： 幂指函数可用该题的方法求导 例12 证明 ： 奇函数的导数是偶函数。 偶函数的导数是奇函数， 求 注： 例13. 解: 证明： 为偶函数 即 所以 是奇函数; 同理可得 设 奇函数的导数是偶函数。 四.隐函数的导数 只要将 的两端对 求导数, 的导数 为了求出隐函数 由 确定 为 的隐函数 导数 例1 求由方程 确定的隐函数在 的 解：两边对 求导 由 得 即得出用 及 表示的导数 把 看成 的函数, 然后再解出 , 例2 其中 是可导函数 解：两边同时对 求导 设 由方程 确定 试求 例3.设曲线 C 的方程是 处的切线方程和法线方程。 求 C 上一点 用复合函数求导法得： 解：在等式两边分别对 x 求导，y 看作 x 的函数， 如果参数方程 (1) 则称此函数关系所表示的函数为由参数方程 所确定的函数。 是平面上圆曲线的参数方程, 确定 y 与 x 之间的函数关系, 例如: 五.由参数方程确定的函数的导数 设函数由 确定,求 推导求函数的导数的方法及求导公式 具有单调连续的反函数 设 于是（1）所表示的函数可以看成由 即 下面讨论直接从参数方程（1） 可导。 且它满足反函数 求导的条件， 复合而成，由复合函数求导法则得： 和 在 处切线及法线方程 解: 所求切线方程为 法线方程为 例1 求曲线 例2 已知炮弹运动轨迹的参数方程为 速度大小 垂直分量 解: 水平分量 求炮弹在任何时刻 的运动速度的大小和方向 当 时 此时速度的方向是水平的,即炮弹达到最高点. 速度的方向即为 弹道的切线方向, 设倾角为 再炮弹刚设出时(即 ) 所求切线方程为 即 所求法线方程为 即 六. 对数求导法 求 例1. 解: 在方程两端同时对 x 求导 例2. 求 解: 2）.由多个因式开方、乘方、乘和除构成的函数求导。 对数求导法主要解决下面两类函数求导问题 1）.幂指函数求导数,