高考数学核心考点集锦课件：第11讲 随机变量与其分布.ppt

* 第3讲　随机变量及其分布 相互独立事件和独立重复试验 随机变量的分布列、期望和方差 二项分布及其应用 概率与统计综合问题 ◆结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型，考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解以及其实际应用． 1．(2010·辽宁)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)． A. B. C. D. 解析　设事件A：“一个实习生加工一等品”，事件B：“另一个实习生加工一等品”，由于A、B相互独立，则恰有一个一等品的概率P＝P(A∩)＋P(∩B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝×＋×＝. 答案　B 2．(2011·湖北)如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)． A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 解析　A1，A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864. 答案　B 3．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)． A. B. C. D. 解析　法一　以甲再打的局数分类讨论，若甲再打一局得冠军的概率为p1，则p1＝，若甲打两局得冠军的概率为p2，则p2＝×＝，故甲获得冠军的概率为p1＋p2＝，故选D. 法二　先求乙获得冠军的概率p1，则p1＝×＝，故甲获得冠军的概率为p＝1－p1＝. 答案　D 4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝(　　)． A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析　由X～N(0，σ2)，且P(X2)＝0.023，知P(－2≤X≤2)＝1－2P(X2)＝1－0.046＝0.954. 答案　C 5．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X4)＝(　　)． A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 解析　由于X服从正态分布N(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x＝3.所以P(X4)＝P(X2)，故P(X4)＝＝0.158 7. 答案　B 6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表： X 1 2 3 P(X＝x) ？ ！ ？ 请小牛同学计算X的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________. 解析　令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 答案　2 相互独立事件与独立重复试验 (1)相互独立事件同时发生的概率为P(AB)＝P(A)P(B)． (2)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 要学会分析事件之间的关系：一个实际问题中往往涉及多个事件，正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的核心，一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和，再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积． 离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列的性质：pi≥0，i＝1,2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)期望与方差： E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn； D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn. E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (4)超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1，…，m，m＝min{M，n}，其中n≤N，M≤N. (5)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (1)求分布列过程中，应弄清随机变量符合哪类分布，再套用公式． (2)求分布列时，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正． 正态分布 (1)若X服从参数为μ和σ2的正态分布，则可表示为X～N(μ，σ2)．