核按钮2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列习题 理.doc

§6.3　等比数列 1．等比数列的定义一般地如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的等于同一那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的通常用字母q表示(q≠0)．等比中项如果在a与b中间插G，使a成等比数列那么G叫做a与b的且G＝或G＝. 3．等比数列的通项公式(1)若{a是等比数列则通项a＝或a＝.当n－m为大于1的奇数时用a表示为q＝；当n－m为正偶数时＝(2)an＝a－1可变形为a＝Aq其中A＝；点(n)是曲线上一群孤立的点．等比数列的前n项和公式等比数列{a中＝ 求和公式的推导方法是：为解题的方便有时可将求和公式变形为S＝Bq－B(q≠1)其中B＝且q≠0等比数列的判定方法(1)定义法：a＋1＝a且a(q是不为0的常数)?{an}是等比数列．(2)通项公式法：a＝cq(c，q均是不为0的常数)?{an}是等比数列．(3)等比中项法：a＝a＋2an·an＋1＋2)?{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：S＝－＝Bq－B是等比数列．等比数列的性质(1)在等比数列p＋q＝m＋n则a＝a；若2m＝p＋q则a＝a(p，q，m，n∈N*)．(2)若{a均为等比数列且公比分别为q则数列(p≠0)，{an·bn}，仍为等比数列且公比分别为(3)在等比数列中按序等距离取出若干项也构成一个等比数列即a＋m＋2m仍为等比数列公比为．(4)公比不为－1的等比数列前n项和为S(Sn≠0)，则S－S－S构成等比数列且公比为．(5)对于一个确定的等比数列在通项公式a＝a－1中是nan＝和指数函数u＝q(n∈N*)复合而成．当a＞0或a＜0时等比数列{a是递增数列；当a＞0或a＜0时等比数列{a是递减数列；当时它是一个常数列；当时它是一个摆动数列．自查自纠比　常数　公比等比中项　ab　±(1)a1qn－1　a－m　　±(2)　y＝4．na1　　　乘公比错位相减　(2)　q　q　(3)qm　(4)q　(5)①q＞1　0q＜1　②0＜q＜1＞1　③q＝1　④q＜0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ()对任意等比数列{a下列说法一定正确的是(　　)成等比数列 ．2，a3，a6成等比数列成等比数列 ．成等比数列解：由等比数列的性质得＝＝q因此一定成等比数列．故选 ()已知等比数列{a满足a＝3＋＋a＝21则a＋a＋a＝(　　)21 B．解：设等比数列{a的公比为q则a＋a＋a＝a＋a＋a＝3(1＋q＋q21，得q＋q－6＝0解得q＝2＋a＋a＝(a＋a＋a)q2＝21q＝42.故选 ()已知数列{a满足2a＋1＋a＝0＝1则数列{a的前10项和S为(A.(210－1) (210＋1)(2－10－1) (2－10＋1)解：∵2a＋1＋a＝0＝－又a＝1＝－2数列{a是－2为首项－为公比的S10＝＝＝(2－10－1)．故选 ()设S为等比数列{a的前n项和．若a＝1且3San＝________．解：由3S成等差数列得4S＝3S＋S即－＝S－S2也即3a＝a得公比q＝3＝a－1＝3－1故填3－1 ()若等比数列{a满足a＋a＝20＋a＝40则公比q＝________；前n项和S＝________.解：由题意 解得故S＝＝2＋1－2.故填2；2＋1－2. 类型一　等比数列的判定与证明　设数列{a的前n项和为S已知a＝1＋1＝＋2.(1)设b＝a＋1－2a证明：数列{b是等比数列；(2)求数列{a的通项公式．解：(1)证明：由a＝1及S＋1＝4a＋2有a＋a＝S＝4a＋2.＝5＝a－2a＝3.又－②得a＋1＝4an－4a－1＋1－2a＝2(a－2a－1)．＝a＋1－2a＝2b－1(n≥2)故{b是以3为首项为公比的等比数列．(2)由(1)知b＝a＋1－2a＝3·2－1－＝故是以为首项为公差的等差数列．＝＋(n－1)·＝得a＝(3n－1)·2－2(1)证明数列{b是等比数列常用方法：①定义法；②等比中项法．(2)证明数列不是等比数列可举一个反例或用反证法．　() 设是公比为q的等比数列. (1)推导的前n项和公式；(2)设q≠1, 证明数列{a＋1}不是等比数列．解：(1) 设的前n项和为S当q＝1时＝a＋a＋…＋a＝na；当q≠1时＝a＋a＋…＋a－1, ＝a＋a＋…＋a－②得Sn＝a－a＝＝(2) 证明(反证法)：假设数列{a＋1}是等比数列则对任意的k∈＋2＝＋2a＋1＋1＝a＋2＋a＋a＋2＋1q2k＋2a＋1＝a－1＋1＋a－1＋a＋1＋1＝q－1＋q＋1－2q＋1＝0.＝1与已知矛盾．{an＋1}不是等比数列．类型二　等比数列基本量的计算　(1)在等比数列{a中＝7前3项之和S＝21则公比q的值为________．解：根据已知条件得＝3整理得2q2－q－1＝0解得q＝1或q＝－故填1或－(2)()已知等比数列{a的前n项