核按钮2017高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 直线与圆锥曲线的位置关系习题 理.doc

§9.9　直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度来看有三种：相离时直线与圆锥曲线______公共点；相切时直线与圆锥曲线有______公共点；相交时直线与椭圆有______公共点直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x)＝0由消元如果消去y后得：ax＋bx＋c＝0(1)当a≠0时＞0则方程有两个不同的解直线与圆锥曲线有两个公共点直线与圆锥曲线________；＝0则方程有两个相同的解直线与圆锥曲线有一个公共点________；＜0则方程无解直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线________． (2)注意消元后非二次的情况即当a＝0时对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．(3)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l：y＝kx＋m与二次曲线C：f(x)＝0交于A两点设A(x)，B(x2，y2)，由得ax＋bx＋c＝0(a≠0)则x＋x＝________＝________＝_________(2)若弦过焦点可得焦点弦可用焦半径公式来表示弦长以简化运算．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程消元后得到一个一元二次方程利用根与系数的关系和(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A一般地首先设出A(x1)，B(x2，y2)，代入曲线方程通过作差构造出x＋x＋y－x－y从而建立中点坐标和斜率的关系．无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．自查自纠无　一个　两个　(1)①相交　②相切　③相离(2)平行或重合　平行或重合(1)－　　＝ 若过点(0)作直线使它与抛物线y＝4x仅有一个公共点则这样的直线有(　　)条　　　．条 ．条 ．条解：结合图形分析可知满足题意的直线共有3条直线＝0过点(0)且平行于x轴的直线以及过点(0)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选 ()若直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点则过点(m)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)至多1个 ．解：∵直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点2，∴m2＋n＋＋＝1－点(m)在椭圆＋＝1的内部过点(m)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．故选 若直线y＝kx＋2与双曲线x－y＝6的右支交于不同的两点则k的取值范围是(　　) B. C. D. 解：由得(1－k)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x)，B(x2，y2)，则解得－－1.故选 直线x－ty－3＝0(t∈)与椭圆＋＝1的交点个数为________．解：易知直线x－ty－3＝0(t∈)过定点P(3)，而＋＜1所以点P在椭圆＋＝1内直线与椭圆的交点个数为2.故填2. 已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x＝4y的焦点且与抛物线相交于A两点则弦AB的长为__________．解：直线l的方程为y＝＋1联立得y－14y＋1＝0.设A(x)，B(x2，y2)，则y＋y＝14＝y＋y2＋p＝14＋2＝16.故填16. 类型一　弦的中点问题　(1)已知一直线与椭圆4x＋9y＝36相交于A两点弦AB的中点坐标为M(1)，则直线AB的方程为____________．解法一：根据题意易知直线AB的斜率存在设通过点(1，1)的直线AB的方程为y＝(x－1)＋1代入椭圆方程整理得(9k2＋4)x＋18k(1－k)x＋9(1－k)－36＝0.设A的横坐标分别为x则＝－＝1解之得k＝－故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1即4x＋9y－13＝0.解法二：设A(x)．中点为M(1)，∴B点坐标是(2－x－y)．将A点的坐标代入方程4x＋9y＝36得＋9y－36＝0及4(2－x)2＋9(2－y)2＝36化简为4x＋9y－16x－36y＋16＝0.②－②得16x＋36y－52＝0化简为4x＋9y－13＝0.同理可推出4(2－x)＋9(2－y)－13＝0.(x1，y1)与B(2－x－y)都满足方程4x＋9y－13＝0＋9y－13＝0即为所求．解法三：设A(x)，B(x2，y2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得 ①－②得4(x1＋x)(x1－x)＋9(y＋y)(y1－y)＝0.(1，1)为弦的中点＋x＝2＋y＝2.(x1－x)＋9(y－y)＝0.∴k＝＝－故AB方程为y－1＝－(x－1)即4x＋9y－13＝0.故填4x＋9y－13＝0.(2)()设F为抛物线C：y＝4x的焦点过点(－1)的直线l交抛