核按钮2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.7 空间向量的坐标表示、运算及应用习题 理.doc

§8.7　空间向量的坐标表示、运算及应用 1．空间向量基本定理如果三个向量a不共面那么对空间任一向量p存在有序实数组____________使得_______________．其中}叫做空间的一个________都叫做__________．空间直角坐标系(1)如果空间的一个基底的三个基向量____________且长都为______则这个基底叫做单位正交基底常用来表示(其中＝＝＝1)．(2)在空间选定一点O和一个单位正交基底以O为原点分别以i的方向为正方向建立三条数轴：____它们都叫做坐标轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz点O叫做原点向量i都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(3)建系时一般使∠xOy＝135(或45)，∠yOz＝90建立____手直角坐标系．(4)在空间直角坐标系中有一点A若＝xi＋yj＋zk则有序实数组____________叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作______________．其中x叫做点A的横坐标叫做点A的纵坐标叫做点A的________．空间向量的直角坐标运算设a＝(x)，b＝(x)，a，b是非零向量则(1)向量加法：a＋b＝__________________．(2)向量减法：a－b＝__________________．(3)数乘：λa＝________________．(4)数量积：a·b＝________________．(5)平行：a∥b(b≠0)_________?x1＝λx________，__________．(6)垂直：a⊥b__________?_______________．(7)向量a的模＝_________＝___________．(8)向量a与b夹角公式：〈a〉＝＝____________．(9)点坐标和向量坐标：若点A(x)，B(x2，y2，z2)，则＝____________________线段AB的长度d＝＝______________________________．直线的方向向量(1)与直线l__________的非零向量a叫做直线l的方向向量．(2)空间中任意一条直线l可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定．设点P是l上的任意一点则l有向量表示形式____________其中t为实数这种形式叫做直线的点向式．注意同一条直线的点向式表示不唯一．5．平面的法向量和法向量的求法(1)平面的法向量已知α，直线l⊥α，取直线l的方向向量a则________叫做平面α的法向量．(2)平面的法向量的求法设出平面的法向量为n＝(x)；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a)，b＝(a)；根据法向量的定义建立关于x的方程组；解方程组取其中的一个解即得法向量．由于一个平面的法向量有______个故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角 设直线l的方向向量为a平面αβ的法向量分别为u则(1)线线平行：l∥m__________?___________．(2)线线垂直：l⊥m__________?__________．(3)线面平行：l∥α__________?____________．(4)线面垂直方法一：l⊥α__________?__________；方法二：若e为平面α的一组基底则α??a·e1＝a·e＝0.(5)面面平行：α∥β__________?__________．(6)面面垂直：α⊥β_________?__________．(7)线线夹角：l的夹角为θθ＝(8)线面夹角：lα的夹角为θθ＝(9)面面夹角：αβ的夹角为θθ＝注意：(1)这里的线线平行包括线线重合线面平行包括线在面内面面平行包括面面重合；(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的即0≤θ≤而二面角的大小是指两个半平面的张开程度这可以用其平面角θ的大小来定义它的取值范围为____________若设u的φ，当u，v均指向二面角内部或外部时(如图1)二面角的大小为θ＝π－φθ＝(π－φ)＝－φ＝－；当u一个指向二面角内另一个指向二面角外时(如图2)θ＝φ，cosθ＝φ＝ 7．距离(1)点到直线的距离设过点P的直线l的方向向量为单位向量nA为直线l外一点点A到直线l的距离d＝______________(如图3)．　　　　　图3　　　　　　　　　图4　　(2)点到平面的距离设P为平面α内的一点为平面α的法向量为平面α外一点点A到平面α的距离d＝ (如图4)．(3)线面距离、面面距离_________．自查自纠　p＝xa＋yb＋zc　基底　基向量(1)两两垂直　1　(2)x轴轴轴　(3)右(4)(x，y，z)　A(x)　竖坐标(1