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义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册 第一章 三角形的证明 等腰三角形 直角三角形 线段的垂直平分线 角平分线 三角形的证明 等腰三角形 图形 性质 判定 等腰三角形 等边三角形 B A C D A B C 两腰相等 等边对等角 三线合一 轴对称图形 两边相等 等角对等边 三边相等 三角相等 三线合一 轴对称图形 三边相等 三角相等 有一个角是60°的等腰三角形 1.已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45°，顶角的度数为 . 2.等腰三角形中一腰上的中线把三角形的周长分为21cm和12cm两部分，则腰长为（ ）. A.8cm B.14cm或15cm C. 8cm或14cm D.14cm 45°或135° D D C A B ┏ A B C D B ┓ A C D x x 2x 例 已知，如图在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，OD⊥AB于D, OE⊥AC于E. （1）OD与OE有什么数量关系； A D C B E O ┏ ┓ M ┏ （2）若BM是一腰上的高，BM与OD，OE有什么数量关系，请说明理由. 一.直角三角形的性质： 直角三角形：有一个角是直角的三角形。 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理) 3.直角三角形中,30°角所对直角边是斜边的一半； 熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25； 8、15、17；…… 直角三角形 二.直角三角形的判定： 1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2.有两个角是互余的三角形是直角三角形。 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。 三.直角三角形全等的判定： AAS、ASA、SAS、SSS、HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 解∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠A=90° ∴AC= DC（直角三角形中,30°角所对直角边是 斜边的一半） ∴AC= BD 例1.已知：如图， ∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.请说明AC= BD的理由. A B C D 7cm 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_____cm2。 49 如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。 说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。 几何证明 依据 演绎推理 定义 公理 定理 命题 逆命题 互逆 逆定理 互逆 线段的垂直平分线及其逆定理 角的平分线及其逆定理 线段的垂直平分线 角平分线 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. ∵MN⊥AB, CA=CB(已知) ∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等） 1 2 C B A M N P 线段的垂直平分线 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ∵AB=AC(已知) ∴点A在线段BC的垂直平分线上 （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等． A B O 1 2 P E D C ∵OP平分∠AOB ， PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE （在角的平分线上的点到 这个角两边的距离相等）． 角平分线 A B O 1 2 P E D C 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. ∴OP平分∠AOB ∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD=PE. （在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上）. 例 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： （1）钝角三角形有两个内角是锐角. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 解：（1）如果一个三角形的两个内角是锐角， 那么这个三角形是钝角三角形. 这个逆命题是假命题. 这个逆命题是真命题. （2）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形. 不良的习惯会随时阻碍你走向成名、获利和享乐的路上去。?