电子科大数值分析期末试卷及评分细则1.docVIP

一、填空题：（30分，每空3分） 真值x*=23.496，近似值x=23.494，x的有效位数为 4 。 等比数列，设，若有误差，按照通项公式生成的数列误差随着n的增大而_____减小 对于定义于[a,b]区间上可积函数，在[a,b]上取10个求积节点，则插值型数值积分公式的最高代数精度能达到 19 。 解线性方程组的SOR迭代法的迭代矩阵为S，松弛因子为，如果SOR法收敛，其充要条件为 。 矩阵，则= ___5____。 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 x 。 对于初值问题，设步长为h，使用右矩形数值求积公式建立Euler法公式为： 。 求解线性方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵的谱半径__________。 设区间[a, b]上的可积函数, 使用抛物线对三点a，，b进行插值，则对应的数值积分公式______ （simpson公式）。 两点的三次Hermite插值的余项公式是：______， 二、判断题：错误用“×”、正确用“√”示意（10分，每小题2分） 最小二乘法拟合中得到的线性方程组总是数值稳定的。 （ × ） 互异的插值节点越多，使用Lagrange插值的结果误差就越小。 （ × ） 矩阵的范数越大，其条件数就越大。 （ × ） 相同的互异求积节点前提下，Gauss求积是具有最高代数精度的插值型积分求积公式。 （√ ） 使用隐式Euler法解常微分方程初值问题，如果步长增加，则算法的数值稳定性将下降。 （ × ） 三、阐述题：（8分） 使用Lagrange多项式插值逼近未知函数，为了提高插值结果的精确性，可以考虑增加插值节点，讨论这种方式的优缺点，并对可替代方法进行简单描述。 1） 增加插值节点等价于增加采样点，插值函数的光滑性增加，阐述出lagrange的runge现象，指明lagrange插值只能用于低阶插值，3分 2）描述出分段线性插值法，1分， 2）描述出分段Hermite和样条插值，4分。 四、解答题：（52分） 1.（12分）用 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解方程组，分析其敛散性，式中 ； 解： 用Gauss-Seidel法，迭代矩阵为 其中 （2分） 特征方程 （3分） 由已知 得特征值，（4分） 所以，因此Gauss-Seidel迭代法发散。（3分） 2. （10分）对于数值求积公式 确定其中的待定参数，使得代数精度尽可能高，并求出代数精度。 解： f(x) = 1时，左=2，右=2；（1分） 时， 左=0，右=。（1分） ，左=，右=（1分） 要求积分公式的代数精度达到2，要求下列方程成立 （1分）（1分） 解得（3分）（注，少算出一个，扣1分，如果只算出一个，得1分） 于是得到积分公式 （1分） 时，左=1，A，B两式右端均，故积分的代数精度为2.（1分） 3.（12分）有数表如下 x 2.2 2.6 3.4 4.0 1.0 y 65 61 54 50 90 用最小二乘法确定拟合模型中的参数a，b。 解： 对拟合模型两边求对数，有 ，（1分） 令，变量代换后有 （1分） 同理，对数表进行代换后有 X 0.342 0.415 0.531 0.602 0 Y 1.813 1.785 1.732 1.699 1.954 取，根据最小二乘法，即有 （2分） （5分） 于是正规方程组为 （1分） 解得 （1分） 于是，拟合模型为（1分） 4. (18分)微分方程如下 （8分）用预估-校正Euler法解上述初值问题（步长h=0.2）。 （10分）写出Matlab求解代码，要求程序具有步长输入功能。 解： 令，则预估-校正Euler法 (2分) 于是： x=0.2， (2分) x = 0.4, (2分) x=0.6, （2分） 程序参考代码： n=input(input n:= ); f=inline(y-x.*y.^2); h=2/n;x=h:h:2; y0=1; k1=f(0,y0);k2=f(h,y0+h*k1); y(1)=y0+0.5*h*(k1+k2); for