四川省成都市石室中学2015年自主招生考试数学试题(含解析).docVIP

2015年四川省成都市石室中学自主招生考试数学试卷 　 一、选择题：本大题共6小题，每题6分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞0 2．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 3．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（　　） A．1 B．12 C．13 D．25 4．方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x﹣1=0的实根x0所在的范围是（　　） A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3 5．如图，△ABC的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则△OFG与△GAH面积之比为（　　） A．2：4 B．1：3 C．2：5 D．1：4 6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（　　） A．2+2 B．2 C．2 D．6 　 二、填空题：本大题公共6小题，每题6分，共36分，把答案填在题中的横线上． 7．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，则图中阴影部分面积为　　cm2． 8．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=　　． 9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A=70°，则∠EDF=　　度． 10．从1到10这十个自然数中，任意取出两个数，它们的积大于10的概率是　　． 11．已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=　　． 12．如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、PC．过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF=　　；阴影部分的面积为　　． 　 三、解答题：本大题共6题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．化简求值：，其中x=+1． 14．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a﹣2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？ 15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F． （1）求证：OD⊥BE； （2）若DE=，AB=，求AE的长． 16．如图，在平面直角坐标系中，A（，0），B（，2）．把矩形OABC逆时针旋转30°得到矩形OA1B1C1， （1）求B1点的坐标； （2）求过点（2，0）且平分矩形OA1B1C1面积的直线l方程； （3）设（2）中直线l交y轴于点P，直接写出△PC1O与△PB1A1的面积和的值及△POA1与△PB1C1的面积差的值． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长； （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． 18．如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S． （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式； （2）若点E在BC的延长线上，求S与t的函数关系式； （3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 　 2015年四川省成都市石室中学自主招生考试数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共6小题，每题6分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞0 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】等式左边为算术平方根，右边的结果应为非负数，且二次根式有意义，故有a＞0，且（1﹣a）≥0． 【解答】解：由已知， 得a＞0，且（1﹣