第二章2.22.2.2第二课时直线与椭圆的位置关系详解.ppt

结 束 首 页 末 页 下一页 上一页 结 束 首 页 末 页 下一页 上一页 1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是(　　) A．点(－2,3)在椭圆外　　 　B．点(3,2)在椭圆上 C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上 答案：D [活学活用] 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围． 直线与椭圆的位置关系 [典例]　对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． [典例]　已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点． (1)求直线l的方程． (2)求直线l被椭圆截得的弦长． (全国卷)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上． (1)求C的方程； (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． [活学活用] 2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A． B． C． D． 答案： (4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0． 所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－． 所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)， 即x＋2y－8＝0．[法二　点差法] 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0． 解：直线y＝kx＋1过定点A(0,1)． 由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上， ＋≤1，m≥1． 又椭圆焦点在x轴上m5， 故m的取值范围为[1,5)． 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 解：(1)由题意有＝，＋＝1， 解得a2＝8，b2＝4． 所以C的方程为＋＝1． 预习课本P～，思考并完成以下问题 1．点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？ 2．直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？ 3．直线被椭圆截得的弦长公式是什么？ [解]　由消去y， 得＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0． [解]　(1)[法一　根与系数关系法] 由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)， 而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0． 将直线方程代入椭圆方程有 第二课时　直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(ab0)的位置关系： 点P在椭圆上＋＝1；点P在椭圆内部＋1；点P在椭圆外部＋1． 3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________． 答案： (2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入＋＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0． 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝． 于是直线OM的斜率kOM＝＝－， 即kOM·k＝－． 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)， 则 －得＋＝0， kAB＝＝－＝－·． 又kO M＝，kAB·kOM＝－． 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(ab0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ0时，方程，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程，直线与椭圆相切； 当Δ0时，方程，直线与椭圆相离． 有两解 有一解 无解 3．直线与椭圆相交的弦长公式 (1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法 交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝· ＝ ·． Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)． 当－m时，Δ0，直线与椭圆相交； 当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m－或m时，Δ0，直线与椭圆相离． 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量