第二章2.22.2.1双曲线及其标准方程详解.pptVIP

* * 双曲线 2．2．1　双曲线及其标准方程 预习课本P～，思考并完成以下问题 1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？ 2．什么是双曲线的标准方程？ 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距． [点睛]　平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”． 当2a|F1F2|时，轨迹是双曲线； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； 当2a|F1F2|时，轨迹不存在． 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 2．双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a0，b0) (a0，b0) 焦点坐标 a，b，c的关系 c2＝ －＝1－＝1F1(－c,0)，F2(c,0) F1(－c,0)，F2(c,0) a2＋b2 [点睛]　(1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定． (2)a，b，c三个量的关系： 标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中，a，b大小不确定． 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线(　　) (2)在双曲线标准方程－＝1中，a0，b0且a≠b(　　) (3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是(　　) A．双曲线　　　　　　 　B．双曲线的一支 C．不存在 D．一条射线 答案：B 答案：－＝1或－＝1 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________． 双曲线标准方程的认识 [典例]　已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) A．k5　　　　　　 　B．k5或－2k2 C．k2或k－2 D．－2k2 [解析]　方程对应的图形是双曲线， (k－5)(|k|－2)0． 即或 解得k5或－2k2． [答案]　B 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线． [活学活用] 若k1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 解析：选C　原方程化为－＝1， k1，k2－10，k＋10． 方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线． 求双曲线的标准方程 [典例]　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解]　(1)当焦点在x轴上时， 设所求标准方程为－＝1(b0)， 把A点的坐标代入，得b2＝－×0，不符合题意； 当焦点在y轴上时， 设所求标准方程为－＝1(b0)， 把A点的坐标代入，得b2＝9， 所求双曲线的标准方程为－＝1． (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)， 双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， 解得 所求双曲线的标准方程为－＝1． 1．(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． [活学活用] 解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)， F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1．由题意，知解得 故双曲线的方程为－＝1． (2)焦点在x轴上，c＝， 设所求双曲线方程为－＝1(其中0λ6)． 双曲线经过点(－5,2)， －＝1，λ＝5或λ＝30(舍去)． 所求双曲线方程是－y2＝1． 双曲线定义的应用 [解]　因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2