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点集拓扑中的几个反例 点集拓扑中的几个反例 郝晶 5030719036 前言：概念定理和习题有时显得枯燥乏味，对于反例的学习反而不失为一条捷径，对于帮助 我们立体地理解整个概念可以起到事半功倍的作用。在此列出一些有趣的反例。 反例一：通常我们有一种错误认为，觉得有限集的导集都是闭集。 事实上，在 空间中的确如此。 T 1 下面具出一个反例， 存在一个有限集，其导集非空： 设X {a,b,c}，令 τ X , a ,b , a ,c , a ,φ ， { { } { } { } } 则(X ,τ) 为一拓扑空间。考虑X 的子集A a ，则点b 和c 都是A 的聚点，故 { } A {b ,c} ，即有限集A 的导集A 非空。 反例二：对于某个集合 的导集的结构，是我们所不了解的。只知道 是闭集。那么 A A ∪A A 是否闭集呢？ 下面举出一个反例： 存在某个集的导集，它不是闭集： 设X {a,b,c}，令 τ X ,, a , b ,c ,φ ， { { } { } } 则(X ,τ) 为一拓扑空间。取A b ，易见，A c ， { } { } 且 不是闭集。 A 反例三：紧拓扑空间中的闭集必是紧集。但是，紧拓扑空间中的紧集未必是闭集。 而在一般的拓扑空间中，紧集也未必是闭的。 下面举出一个反例： 存在某个T 空间中的紧集，它不是闭的： 1 设X 为实数集，命X 的开集为空集φ 以及一切X \ C ，其中C 为任意有限集。此 1 点集拓扑中的几个反例 开集族形成为X 的一个拓扑τ ，（即有限补拓扑）。 这个拓扑空间中的有限集都是闭的，故它是一个 空间。 T 1 ⎧ 1 1 ⎫ 现取X 的子集A ⎨0,1, , , ⎬，并任取A 的一个开覆盖： ⎩ 2 3 ⎭ μ U X \ C | α∈Δ ， { α α } 其中C 为有限集。于是，存在U ∈μ，使0 ∈U X \ C 。 α 0 0 0 由于 是有限集，故存在某个区间