苏教版2.3数学归纳法1.pptVIP

* * * 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法. 归纳法 ｛ 完全归纳法 不完全归纳法 由特殊 一般 特点: a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d …… an=a1+(n-1)d * 解: 猜想数列的通项公式为 验证:同理得 啊,有完没完啊? 正整数无数个! 对于数列｛　｝，已知　　　，　　　　 （1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ （2）你的猜想一定是正确的吗？ 情境 * 第一个人倒下，是否所有人都倒下？ * 第k+1个人是如何倒下？ * 第一，第一个人必须倒下； 第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个. 要保证每个人都倒下，必需满足什么条件？ * 条件2给出了一个递推关系： 当第k个人倒下时，相邻的第k+1个人也倒下. 条件2的作用时什么？ * “对于数列｛an｝，已知a1＝1， （n＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 ”. 怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？ 探究任务一：一个数学问题新的证明方法 * 多米诺骨牌游戏原理 证明数列的通项公式是 的步骤 （1）第一个人倒下. （1）当n=1时猜想成立. （2）若第k个人倒下时，则相邻的第k+1个人也倒下. 根据（1）和 （2），可知不论有多少个人都能全部倒下. 根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立. —— （2）若当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立 * 一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行： （2） 假设n=k(k≥n0，k∈N* ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. （1） 证明当n取第一个值n0 (n0∈N* )时命题成立. （归纳奠基） (归纳递推) 探究任务二：提炼原理，得出概念 * 思考：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？ 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立. * 用框图表示为： 验证n=n0时命题成立. 若n = k ( k ≥ n 0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 命题对所有的自然数n ( n ≥ n 0)都成立. 归纳奠基 归纳递推 * 理解新知 问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下： 结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无. 证明：假设n=k时等式成立，即 那么 即n=k+1时等式成立. 所以等式对一切自然数 均成立. 上述证法是正确的吗？为什么？ * 问题:2：乙同学用数学归纳法证明 如采用下面证法，对吗？为什么 结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效. 理解新知 * 问题3：讨论 的大小 结论3：在第一步中的初始值n0不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定. 猜想： 用数学归纳法证明，第一个取值为5. 理解新知 * 所以n=k+1时结论也成立 那么 求证 * 例2：用数学归纳法证明 * 例3. 用数学归纳法证明 * 如下证明对吗？ 证明　①当n＝1时，左边＝1 右边＝1 　　等式成立． ②假设n＝k时，有 即n＝k＋1时，命题成立． 根据①②问可知，对n∈N*，等式成立． 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明． * 1.已知: ,则 等于( ) A: B: C: D: C 练习： * 练习 P90 2、3、4、5 * 小结作业 1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证