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第五章　矩阵的特征值与矩阵的对角化 第一节　矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值与特征向量的概念 二、矩阵的特征值与特征向量的性质 North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 分析 证明 证明 证明 解特征方程求出的全部特征值；对每一个不同特征值，求出相应齐次线性方程组的一个基础解系于是方阵对应于特征值的全部特征向量为 ， 其中是不全为零的任意数．定义　设为阶方阵，若数和维非零列向量满足 ，　 (5.1) 求方阵的特征值与特征向量的步骤为：将代入齐次线性方程组， 得 (2) 　；问题给定阶方阵，如何求它的特征值与特征向量则称数为的特征值，为对应于特征值的特征向量． 本章主要讨论方阵的特征值、特征向量及方阵的对角化等问题，这些内容是矩阵理论的重要组成部分，在许多学科中都有非常重要的应用．　 (5.1) 　 (5.2) 　当与已知时，这是一个关于的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件 ． 　　　(5.3)若一个数满足(5.3)，　 设是的一个特征值，则此时 (5.2)必有非零解，　 这样的和 必满足(5.1)，　 从而就是的特征值， 为对应于特征值的特征向量． 则齐次线性方程组 的任意非零解都是对应于特征值的特征向量． (5.2) 　， 　　　(5.3)即．记，则是关于的次多项式， 称为的特征多项式． 方程式(5.3)称为的特征方程． 特征方程的根就是的特征值． 因次方程在复数范围内有个 根重根按重数计算)，因此，阶方阵必有个特征值． 它的基础解系为 ，解 特征方程为 ,即，例　求下列矩阵的特征值与特征向量： ．故的全部特征值为，，．所以对应于特征值的全部特征向量为． 将代入齐次线性方程组， 得 它的基础解系为，所以对应于特征值的全部特征向量为． 将代入齐次线性方程组， 得 它的基础解系为，所以对应于特征值的全部特征向量为． ，，． ，，． ，，．解 特征 例　求下列矩阵的特征值与特征向量： ．故的全部特征值为，． 将代入齐次线性方程组， 得 ， 它的基础解系为 ，所以对应于特征值特征向量为 ?．，．将代入齐次线性方程组， 得 ， 它的基础解系为，，所以对应于特征值的全部特征向量为 （不全为零．，．定理 1　若都是对应于特征值的特征向量，，则也是对应于的特征向量只要）．证 由已知，， 则 证毕．推论　方阵对应于特征值的特征向量的线性组合仍是对应于的特征向量（只要这个线性组合不是零向量）．定理　方阵对应于不同特征值的特征向量必线性无关．定理3 若是方阵的不同特征值，是对应于的线性无关的特征向量，，则向量组 线性无关．（证明略． 定理　方阵对应于不同特征值的特征向量必线性无关．证 设是方阵的个不同特征值，分别是对应于特征值的特征向量． 下证线性无关． 采用数学归纳法． 当时，因，故结论成立．假定对个不同特征值结论成立．往证个不同特征值的情形．设．　　(5.4)用左乘上式，再利用，得．　(5.5) ．　　(5.4)．．　(5.5) 由(5.4)，(5.5)消去，得由归纳假设，线性无关，故，．因为互不相同，所以．代入(5.4)，得．因此线性无关．证毕．定义　设为阶方阵，称的主对角线上个元素之和为的迹，记作，即．定理4　设阶方阵的全部特征值为，则 (1)； (2)．证 设，则 ．． 展开式中的其余各项，至多包含个形如()的因子， ．它对的次数最多是． 所以中的系数为， 的系数为． 所以 比较上面两式，可得 证毕．例3　设为阶方阵的一个特征值．试证： (1) 为的一个特征值； (2)当可逆时，为的一个特征值．证　(1)因为，所以与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值．故也是的一个特征值．(2) 因为矩阵的特征值，则存在非零列向量，使得．推论阶方阵的特征值．又可逆，故由定理知．在两边左乘，，得， ．故为的一个特征值．证毕．例4 设为的一个特征值，且，证明为的一个特征值．证因为的特征值，则存在非零列向量，使．又 ， 所以有特征值．证毕．注意　从本题的解题过程可以看出，对应于特征值的特征向量也是对应于特征值的特征向量．本节完． 两边右乘，，有