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第三节 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式 两个特例情形： North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 证明 定义　在阶行列式中任行行)列列)，.位于这些行和列的交叉点上的元素按原来的位置组成一个阶行列式，称为行列式的一个阶子式．例 在四阶行列式 选定第一、三行，第二、四列得出一个二阶子式．定理1拉普拉斯定理 设在行列式中任意取定行．由这行元素所组成的一切阶子式与它们代数余子式的乘积之和等于行列式． 称对行列式 应用拉普拉斯定理为将行列式按某个行展开．例2 计算五阶行列式 . 解 在的前二行中，所有二阶子式共有个，但其中只有三个不为零，它们是： 再将上式右边的阶行列式，按第 ，行展开得 继续这样进行，最后可得 ． 定理　　　定理2证明　作一个阶行列式 一方面，由拉普拉斯定理， 另一方面，将第行的倍，第行的倍第行的倍都加到第一行，得 在中划去这 行列后余下的元素按原来位置组成的阶行列式 ，称为子式的余子式称的代数余子式． 的代数余子式为． 的余子式为．假如把行换成列，则称将行列式按某个列展开． 则 ，其中，． 再依次将第行的倍，第行的倍，第行的倍加到第行，就得用拉普拉斯定理证毕．例 计算阶行列式 ， 其中行列式中空白处元素均为零． 解 先按第 ，行展开得 ，，．它们的代数余子式分别是： ，根据拉普拉斯定理，得 ．， ．例 试计算下列行列式的平方，从而求出． . 解 ， 其次， ， 所以由于中主对角线上的元素都是，按行列式的定义知，这项前面的符号为正，因此． 本节完．