第四章随机变量的数值特征.pptVIP

* 在前几章，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的。 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的。在这些数字特征中，最常用的是期望和方差。 第四章 随机变量的数值特征 §4.1 数学期望 1. 数学期望的定义 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一，它的定义来自习惯上的平均概念。 定义 1： 设 X 是离散型随机变量，它的概率分布律为 P(X=xk)=pk, k=1,2,…。如果 有限，定义 X 的数学期望 也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 定义 2： 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x)，如果 有限，定义 X 的数学期望为 亦即，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。 2. 随机变量函数的数学期望 设已知随机变量 X 的分布，需要计算的不是 X 的期望，而是 X 的函数 g(X) 的期望。 该如何计算呢？ 一种方法是，首先求随机变量函数 g(X) 的分布，然后按数学期望的定义计算 E[g(X)] 。但是，求随机变量函数 g(X) 的分布，一般比较复杂。 可否不先求 g(X) 的分布而只根据 X 的分布来求得E[g(X)]呢？ 可以！ 定理： 设 X 是一个随机变量，当 X 为离散型时，其分布律为 P(X= xk)=pk；当 X 为连续型时，其密度函数为 f (x)。 Y=g(X)，则 该公式的重要性在于： 求 E[g(X)]， 不必知道 g(X) 的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。 这给求随机变量函数的期望带来很大方便。 3. 数学期望的性质 1）设 C 是常数，则 E(C) = C； 2）若 k 是常数，则 E(kX) = kE(X)； 3）E(X1+X2) = E(X1)+E(X2)； 推广 4. 设 X、Y 独立，则 E(XY) =E(X) E(Y)； 推广 （诸 Xi 相互独立） 由 E(XY)=E(X) E(Y) 不 一定能推出 X,Y 独立 例. 电视塔观光电梯每整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早8点至9点之间随机来到底层候梯处，求该游客等候时间的数学期望。 解：设该游客到达时刻为 8 点的第 X 分钟，等候电梯的时间为 Y（分钟）。 则 X 在 [0,60] 上均匀分布，而 Y 是 X 的函数。由题意，有 所以 §4.2 方差 随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征。但是，仅仅知道平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其中心附近的离散程度。这个数字特征就是方差。 1. 方差的定义 设 X 是一个随机变量，若 E[(X-E(X)]2 ∞，则称 采用平方是为了保证一切差 值 X-E(X) 都起正面的作用 为 X 的方差。 方差的算术平方根 称为标准差。由于它与 X 具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。若 X 的取值比较集中，则方差较小；若 X 的取值比较分散，则方差较大；若方差 D(X) = 0，则随机变量 X 以概率 1 取常数值。 X 为离散型 P(X=xk)=pk 由定义可知，方差是随机变量 X 的函数 g(X) = [X-E(X)]2 的数学期望，故有 X 为连续型 X ~ f(x) 计算方差的一个简化公式 2. 方差的性质 1） 设 C 是常数；则 D(C)=0； 2） 若 C 是常数，则 D(CX)= C2D(X)； 3） 若 X1 与 X2 独立，则 推广 若 X1, X2, …, Xn 相互独立，则 4）D(X)=0 ? P(X = C )=1。 3. 切比雪夫不等式 设随机变量 X 有数学期望 E(X) = ? 和方差 D(X) = ? 2，则对于任意正数 ? 0，下述不等式成立： 或 这表明，方差越小，事件{|X–?| ? ?} 的概率越小，即事件{|X–?| ?} 的概率越大，亦即随机变量 X 集中在其数学期望附近的可能性越大。 例. 在每次试验中，事件 A