第十二章第二节逆变换与逆矩、矩阵的特征向量.pptVIP

Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;一、逆变换与逆矩阵 1．设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得 ，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．;3．逆矩阵的性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆 矩阵是_____的． 性质2.设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可 逆，且________________． ;4．定理：二阶矩阵A＝ 可逆，当且_____________．;二、逆矩阵与二元一次方程组 1．定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组 (线性方程组)的系数矩阵A＝ 可逆，那么该方程 组有唯一解 ;2．推论：关于变量x，y的二元一次方程组 其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的行列式____________． ;三、特征向量定义 设矩阵A＝ ，如果存在数λ以及非零向量ξ， 使得　　 ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． ;四、特征向量的性质 设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵 A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非 零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2为实数)，则对任 意的正整数n，有Anα＝ . ;1．已知B＝ 并且(AB)C＝ 求矩阵A.;解：∵(AB)C＝A(BC)且BC＝ ;2．已知M＝ ，求M4β. ;解：矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝ ＝λ2－2λ－3＝0， 所以λ1＝3，λ2＝－1， 对应的一个特征向量分别为; 令β＝mα1＋nα2，将具体数据代入有m＝4，n＝－3， M4β＝M4(4α1－3α2) ＝4(M4α1)－3(M4α2) ;3．给定矩阵A＝ 求A的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2. ? ;解：设A的一个特征值为λ，由题意知： 即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3， 当λ1＝2时，由 得A属于特征值2的一个特征向量 α1＝ 当λ2＝3时，由 得A属于特征值3的一个特征向量α2＝ ;4．(2009·前黄高级中学高三调研)已知二阶矩阵M有特征值 λ＝8及对应的一个特征向量e1＝ ，并且矩阵M对应 的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2 的坐标之间的关系． ? ? ? ? ;解：(1)设M＝ 故＝ 故 联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4， 故M＝ ;(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8 ＝λ2－10λ＋16， 故另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M的另一个特征向量是e2＝ ，则Me2＝ 解得2x＋y＝0. ;Evaluat