第一章流体属性与流体静力学(yao).ppt

根据气体状态方程 ，密度写为压强和温度的表达即 代入平衡微分方程得： T 是高度 y 的已知函数，严格说 g 也随 y 有所变化，但在对流层范围内其影响极小，这里就把它当常数看，其值为9.80665米/秒2。将 T 的式子代入，即可分离变量 。 1.7 标准大气 代入微分方程得： 下标H代表高度为H米处的大气参数。 将对流层的 积分得： 1.7 标准大气 在平流层内，即11km到20km为止， 代入微分方程 并积分： 1.7 标准大气 根据状态方程可得密度比： 根据地面的标准大气参数即可得出对流层某高度H处压强和密度分布。 结果得： 下标“11”代表H=11000米处的参数 。 其他高度上的压强、密度参数都可以仿此由温度随高度的变化关系代入上述微分方程后积分得出。这样计算出来的大气参数（压强、密度、温度等的总称）列成标准大气表 ，可供查阅参考。 1.7 标准大气 右图是平流层高度范围内温度T、压强 p、密度ρ和分子平均自由程随高度 H 变化的曲线： 1.7 标准大气 习题： 如图封闭小车内水未装满，顶部压强 p0 为已知，又小车以匀加速度a向右运动，将坐标系建于小车上时可将容器内的水看成处于平衡状态，试： （1）写出单位质量彻体力各分量的表达 （2）写出液体的等压面微分方程，并求自由面方程 （3）写出平衡微分方程，并求左下角处压强，问左、右下角压强是否相等？为什么？ a p0 x y z h * 下面我们研究压强在平衡流体中的分布规律。 在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡儿坐标系 oxyz，坐标轴方位任意。在流体内取定一点P（x ,y ,z）,然后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度 dx,dy,dz, 划出一微元六面体作为分析对象: x y z ·P dx dy dz 1.4 流体静平衡微分方程 假设： 六面体体积：dv=dxdydz 中心点坐标： x ,y ,z 中心点压强：p = p（x,y ,z） 中心点密度： ρ =ρ（x,y,z） 中心点处三个方向的单位质量彻体力: fx, fy, fz 微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示,如图为 x 方向彻体力，其他方向同理可得。由于流体静止故无剪应力。 x y z ·P dx dy dz 1.4 流体静平衡微分方程 x方向的表面力为： x方向的彻体力为： 流体静止，则 x 方向的合外力为零： 1.4 流体静平衡微分方程 两边同除以 dv=dxdydz 并令 dv趋于零，可得 x方向平衡方程。 y, z 方向同理可得： 流体平衡微分方程 表明当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于彻体力在该方向有分量造成缘故。 1.4 流体静平衡微分方程 将上三个式子分别乘以dx，dy，dz，然后相加起来，得到： 此式左端是个全微分： 平衡要求右端括号也是某函数Ω=Ω（x,y,z）的全微分dΩ ，称Ω为彻体力的势函数，或称彻体力有势。 1.4 流体静平衡微分方程 这就是平衡的必要条件，即平衡的必要条件是彻体力为有势力，换句话说：只有在势力作用下流体才可能平衡。 重力、惯性力和电磁力都为有势力。 根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个彻体力分量 fx ，fy ，fz 满足下列关系： 1.4 流体静平衡微分方程 则平衡微分方程可写为： 当彻体力有势时，设彻体力与势函数的关系为： 1.4 流体静平衡微分方程 如果我们知道某一点的压强值 pa 和彻体力势函数 Ωa 的值,则任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表出： 等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面 · · · · · · p=c 等压面 在等压面上满足： 上式积分后为一几何曲面或平面，该曲面上满足 dp=0，上方程称为等压面方程 或： 1.4 流体静平衡微分方程 等压面方程还可写为： 其中： 为彻体力向量。 为等压面上的向径 等压面 上式表明：等压面处处与彻体力相正交。 1.4 流体静平衡微分方程 例如： 1.在重力场下静止液体等压面必然为水平面 g a a 3. 在水平向右加速容器中的液体，合成的彻体力向左下方，因此等压面是向右倾斜的平面 2. 在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，二者合成的彻体力均为向下，因此等压面也是水平面 1.4 流体静平衡微分方程 设封闭容器自由面处压强为p0，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为 y 处的某单位质量流体，其彻体力可表