2008年北京科技大学高等数学竞赛试题.pdf

北京科技大学 2008 年《数学竞赛》试题 学院 班级 姓名 学号 考试教室 注意事项： (1) 题目未按难易程度编排，也就是说后面的问题也许更为简单; (2) 答案一律写在第7 －8 页的答题纸上，否则无效（请将答题纸扯下来）; (3) 第9 －10 页为草稿纸（请扯下来）; (4) 考试时间8:30—11:00; (5) 交卷时, 答题纸与试题分开交! 一、选择题（每题 2 分，共 40 分） 1. 设数列{x }与{y }满足lim x y 0 ， 则下列断言正确的是 ( ). n n n n n→∞ （A ）若{xn }发散, 则{y n }必发散 （B ）若{xn }无界, 则{y n }必有界 （C ）若{xn }有界, 则n →∞, yn 必为无穷小 1 （D ）若n →∞, 为无穷小, 则n →∞, yn 必为无穷小 x n 2 2. 设x →0 时, ex −(ax2 +bx +c) 是比x 2 高阶的无穷小, 其中a,b,c 是常数, 则 ( ). (A) a 1,b 2,c 0 (B) a c 1,b 0 (C) a c 2,b 0 (D) a b 1,c 0 1+x 3. ( ) lim 设函数f x 2n , 讨论函数f (x ) 的间断点, 其结论为 ( ). n→∞1+x (A) 不存在间断点 (B) 存在间断点x 0 (C) 存在间断点x 1 (D) 存在间断点x −1 ⎧1−cosx ⎪ , x 0 设f x , 其中g (x ) 是有界函数, 则f (x ) 在x 0 处( ). 4. ( ) ⎨ x ⎪ 2 x g x x ≤ ⎩ ( ), 0 1 (A) 极限不存在 (B) 可导 (C) 连续不可导 (D) 极限存在, 但不连续 ′ 2 5. 已知函数f (x ) 具有任意阶导数, 且f (x ) ( f (x )) , 则当n 为大于2 的正整 数时, f (n) (x ) 为( ). (A) (f (x ))2n (B) n !( f (x ))2n (C) n( f (x))n+1 (D) n !( f (x ))n+1 ⎛ 1 2 1 n ⎞ −x 6. n =+ + + + 设 为正整数, 则关于函数f (x ) ⎜1 x x x ⎟e 的极值问题是