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2013年全国高中数学竞赛安徽赛区初赛试题及答案
013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
（考试时间：2013 年9 月14 日上午9:00—11:30）
二
题号 一 总分
9 10 11 12
得分
评卷人
复核人
注意： 1．本试卷共12 小题，满分150 分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．
一、填空题（每题8 分，共64 分）
1. 函数f (x) x +1 + x −1 + 4 −x 2 的值域为 ．
2. 方程sin(2013 πx) x 2013 的实根个数为 ．
3. 化简sin 12°sin 48°sin 54° （用数字作答）．
4. 设数列 满足 ，则 ．
{a } a a 1，a 3a −a (n ≥3) a
n 1 2 n n−1 n−2 2013
2
5. 设△ABC 的外接圆圆心 满足 ( )，则cos ∠BAC ．
P AP AB +AC
5
z +1
6. 设复数 满足 的实部与虚部之比为 ，其中 是虚数单位， ，
z x +y i 3 i x , y ∈R
z +2
y
则 的最大值为 ．
x
300 100
7. 设(1+x +x 2 )150 ∑c x k ，其中c , ,c 是常数，则∑c ．
k 0 300 3k
k 0 k 0
8. 随机选取正11 边形的3 个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为 ．
二、解答题（第9—10 题每题21 分，第11—12 题22 分，共86 分）
9. 设正三棱锥的底面边长为1，侧棱长为2 ，求其体积和内切球半径．
10. 求所有函数f : R →R ，使得对任意 都有
x , y
1 1
f x y f x f (y ) 2xy 且 x 2 − x 2 ≤f (x) ≤x 2 + x 2 ．
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