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高中數學專題 —函數方程 臺南 一中/鄭旭峰 P. 1 一、代換法 — 對函數方程的未知函數或未知函數的自變數作代換 ，以達到求解 函數方程的目的 。此法多用於單變數函數方程。 1. 已知 f (x是偶函數) ，g(x是奇函數) ，試解函數方程 f (x) + g(x) = 2007 x 5 − x 2 + x 2006 【解】由題意可得− 5 ≤ x ≤ 5 ，因為f (x) 、g(x)分別為偶函數與奇函數，所以 f ( − x) + g( − x) = 2007 ( − x ) 5 − x 2 + ( − x ) 2006 ⇒ f (x) − g(x) = − 2007 x 5 − x 2 + x 2006 所以 f (x) = x 2006 ，g(x) = 2007 x 5 − x 2 □ π π 2. 已知 − ≤ x ≤ ，試解函數方程 2 2 f ( − tanx) + 2f (tanx) = sin2x 。 【解】將− x代入 x ⇒ f ( − tan ( − x)) + 2f (tan ( − x)) = sin2( − x) ⇒ f (tanx) + 2 f( − tanx) = − sin2x f (− tanx ) + 2f (tanx ) = sin 2x 由聯立方程式  2f (− tanx ) + f (tanx ) = − sin 2x 2tan x 解得 f (tanx) = sin2x = 2 1+ tan x 2x π π 故 f (x) = 2 ，其中− ≤ x ≤ □ 1+ x 2 2 【結論】由上述兩個例子可看出 ，在函數方程中凡是涉及函數的奇偶性時，自變數x的位置 具有對稱性 。以− x代入 x所得新方程式與原方程式組成方程組 ，從而解出未知函 數。 高中數學專題 —函數方程 臺南 一中/鄭旭峰 P. 2 3. 解函數方程 1 f (x) + log x ⋅f ( ) = a x ， x 其中x 0 且 b 0 ，b ≠ 1 。