第三章平稳时间序列分析-2.pptVIP

三、平稳AR模型的统计性质 均值 方差 协方差 自相关系数 偏自相关系数 1、均值 如果AR(p)模型满足平稳性，则有 因平稳序列均值为常数，且{εt} 为白噪声序列，有 则 （1）Green函数定义 AR模型的传递形式 框中式子称为AR模型的传递形式，而系数{Gj,j=1,2,…}称为Green函数。 Green函数性质：呈负指数下降，且 （2）Green函数递推公式 对平稳AR模型的传递形式 两边求方差得 【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差 平稳AR(1)模型的传递形式为 Green函数为 平稳AR(1)模型的方差 3、协方差函数 在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k ，再求期望 因平稳性且中心化，有 得协方差函数的递推公式 【例3.3】求平稳AR(1)模型的协方差 由协方差函数递推公式 而平稳AR(1)模型的方差为 协方差函数的递推公式为 【例3.4】求平稳AR(2)模型的协方差 平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为 4、自相关系数 因相关系数的定义 由协方差函数递推公式易得 平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式 可推得：常用平稳AR模型自相关系数递推公式 AR(1)模型 AR(2)模型 平稳AR模型自相关系数的拖尾性 拖尾性 呈复指数衰减 【例3.5】考察如下平稳的AR模型的自相关图 例3.5 自相关系数按复指数单调收敛到零 例3.5 自相关系数 单调收敛到零 例3.5 自相关系数呈现出“伪周期”性 例3.5 自相关系数不规则衰减 5、偏自相关系数 定义 对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量xt-1,xt-2,…,Xt-k+1 的条件下（即在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后），xt-k对xt 影响的相关度量。即 偏自相关系数的计算 滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。 平稳AR模型偏自相关系数的截尾性 AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾 例3.5续:考察平稳AR模型的偏自相关图 例3.5 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 例3.5 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 例3.5 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 例3.5 理论偏自相关系数 样本偏自相关系数图 二、MA模型 1、定义：具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为 MA(q) 特别当μ=0时，称为中心化MA(q)模型。 【注意】（1）MA模型总满足平稳条件 ；（2）AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此模型。（3）系数敏感性较AR模型差。 移动平均系数多项式 引进延迟算子，中心化MA(q)模型可简记为 q阶移动平均系数多项式 2、MA模型的统计性质 均值为常数 方差为常数 自协方差函数q阶截尾 自相关系数q阶截尾 常用MA模型的自相关系数 MA(1)模型 MA(2)模型 偏自相关系数拖尾 【例3.6】考察如下MA模型的相关性质 （1）（2）MA模型的自相关系数截尾 （3）（4）MA模型的自相关系数截尾 (1)(2)MA模型的偏自相关系数拖尾 (3)(4)MA模型的偏自相关系数拖尾 3、MA模型的可逆性 自相关系数列对应MA模型的不唯一性 例3.6中不同的MA模型有相同的自相关系数和偏自相关系数，这样对利用自相关系数选择合适模型带来困惑。 可逆MA模型定义 若一个MA模型能够表示为收敛的AR模型，那么该MA模型称为可逆MA模型 一自相关系数唯一对应一可逆MA模型。 可逆MA(1)模型条件 MA模型的可逆条件 MA(q)模型的可逆条件是： MA的AR形式的特征根都在单位圆内，即 等价于MA的系数多项式的根都在单位圆外 可见，若MA可逆，则MA的可逆性与相应AR形式的平稳性等价的。 MA的逆函数的递推公式 对可逆的MA模型，有 利用待定系数法可得 逆函数I(B)递推公式 例3.6续 考察如下MA模型的可逆性 (1)—(2) 由MA(1)可逆条件 及逆函数的递推公式： 逆函数 则模型的逆转形式 (3)—(4) 逆函数 逆转形式 作业 P98习题三 9、11（2）（4） 【注意】MA模型的自相关系数q阶截尾及偏自相关系数拖尾，正好与AR模型相反。 两自相关图相同 两自相关图相同 两偏自相关图相同 两偏自相关图相同 虽然形式一样，但可逆时条件要求不同，仍是一一对应