第2节正态总体下的抽样分布.pptVIP

统计量 是样本 的不含任何未知数的函数，它是一个随机变量 统计量的分布称为抽样分布。 由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论正态总体下的抽样分布. 由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用. 正态总体样本均值的分布 设总体 ， 是 的一个样本, 则样本均值服从正态分布 U—分布 概率分布的分位数(分位点) 使P{X≥x?} =?， 定义 对总体X和给定的? (0?1)，若存在x?， 则称x?为X分布的上侧?分位数或上侧临界值. 如图. ? x? o y x P{X≥x?} =? 若存在数?1、?2，使 P{X≥?1}=P{X≤?2} 则称?1、?2为X分布的双侧?分位数或双侧临界值. o y x ?2 ?1 双侧? 分位数或双侧临界值的特例 当X的分布关于y轴对称时， 则称 为X分布的双侧?分位数或双侧临界值. 如图. 若存在 使 y x O U—分布的上侧分位数 对标准正态分布变量U～N(0, 1)和给定?的，上侧?分位数是由： P{U≥u?} = 即 P{Uu?} =1-? ?(u?) =1-? 确定的点u?. 如图. ?(x) x O u? ? 例如， ?=0.05，而 P{U≥1.645} =0.05 所以， u0.05 =1.645. U—分布的双侧分位数 的点u?/2为标准正态分布的双侧?分位数或双侧临界值. 如图. u?/2可由P{U≥u?/2}=? /2 对标准正态分布变量U～N(0, 1)和给定?的， 称满足条件 P{|U|≥u?/2} =? 即 ?(u? /2) =1-? /2 反查标准正态分布表得到， P{U≥1.96}=0.05 /2 例如，求u0.05/2， 得u0.05/2=1.96 ?(x) O u?/2 ? /2 -u?/2 ? /2 x 标准正态分布的分位数 在实际问题中， ?常取0.1、0.05、0.01. 常用到下面几个临界值： u0.05 =1.645， u0.01 =2.326 u0.05/2=1.96， u0.01/2=2.575 数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即 ? 2分布 t 分布 F分布 数理统计的三大分布(都是连续型). 它们都与正态分布有密切的联系. 在本章中特别要求掌握对正态分布、? 2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们是后面章节的基础. ——分布 定义 设总体 ， 是 的一个样本, 则称统计量 服从自由度为n的 分布，记作 自由度是指独立随机变量的个数， 分布的密度函数为 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x 0.50.40.30.20.1 n=1 n=4 n=10 f(y) 其图形随自由度的不同而有所改变. ?2分布表(附表5(P175) ). 分布密度函数的图形 满足 的数 为? 2分布的 上?分位数或上侧临界值， 其几何意义见图5-5所示. 其中f(y)是? 2-分布的概率密度. f(y) x O ? 图5-5 显然，在自由度n取定以后， 的值只与?有关. 例如，当n=21，?=0.05时，由附表5(P175)可查得， 32.67 即 ? 2分布的上?分位数 ? 2分布的双侧?分位数 把满足 的数 称为? 2分布的双侧?分位数 或双侧临界值. 见图. f(x) x O 显然， 为? 2分布的上 分位数. 为? 2分布的上 分位数. 如当n=8, ?=0.05时， 2.18 17.54 ? 2分布的数学期望与方差 设? 2～? 2(n)，则E(? 2)=n，D(? 2)=2n. ? 2分布的可加性 设 且 相互独立， 则 性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(? ，? 2) 的样本，则 证明 由已知，有 Xi～N(? ，? 2)且X1，X2，…，Xn相互独立， 则 且各 相互独立， 由定义5.3得 定理 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N(? ，? 2)的样本，则 (1) 样本均值 与