附录_(复习)线性代数基础.ppt

转置矩阵的运算性质 §2.2 矩阵的运算 例：已知 解法1 解法2 §2.3 逆矩阵 定义： 对于 n 阶方阵A, 如果有 n 阶方阵 B，使得 则称n 阶方阵 A 是可逆的，且 B 称为 A 的逆矩阵，记作 A－1 . 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）. §2.3 逆矩阵 ( E 是 n 阶单位矩阵) 下面要解决的问题是： 在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ 如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？ §2.3 逆矩阵 方阵的行列式 定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA. 运算性质 证明 §2.3 逆矩阵 定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 称为矩阵 A 的伴随矩阵. 元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 性质 伴随矩阵： §2.3 逆矩阵 定理：若 ，则方阵A可逆，而且 推论：若 ，则 . §2.3 逆矩阵 即： ，其中 (A*为A的伴随矩阵) 例：求二阶矩阵 的逆矩阵. §2.3 逆矩阵 例：求3阶方阵 的逆矩阵. 解：| A | = 1， 则 方阵A可逆 此时，称矩阵A为非奇异矩阵 容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果 那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. 定理：若方阵A可逆，则 ． §2.3 逆矩阵 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB也可逆，且 §2.3 逆矩阵 表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数. n 个变量 与 m 个变量 之间的 关系式 线性变换 §2.3 逆矩阵 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 线性变换 的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记 则上述线性变换可记作 Y = AX . 例 线性变换 称为恒等变换. 对应 单位阵 En 对应 投影变换 例 2阶方阵 对应 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换 例 2阶方阵 (3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0） (4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0） 四个结论： 思考题 已知 ，求 的系数. 故 的系数为－1. 解 含 的项有两项，即 对应于 例如 把 称为元素aij的代数余子式． 在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij. 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. 代数余子式: §1.2 行列式按行(列)展开 行列式按行（列）展开法则 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 §1.2 行列式按行(列)展开 例: 计算 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k 乘以此行列式. 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． §1.3 行列式的性质 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如： 则 §1.3 行列式的性质 §2 矩阵 §2.5 方阵的特征值与特征向量 §2.1 矩阵的定义 §2.2 特殊的矩阵 §2.3 逆矩阵 §2.4 矩阵的分块 补充: 几个重要的矩阵 由 m×n 个数 排成的 m 行 n 列的数表 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作 §2.1 矩阵的定义 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简