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第28卷第4期 土 木 工 程 与 管 理 学 报 V01．28No．4 2011年 12月 JournalofCivilEngineeringandManagement Dee．2011 基于 自然单元法的动力学问题分析 房霆宸 ， 李 武 (1．上海大学 土木工程系，上海 200072； 2．中交第三航务工程勘察设计院有限公司，上海 200032) 摘 要：针对有限元法模拟动力学问题受单元尺寸限制的问题，本文采用 自然单元法来消除单元尺寸的限制。 在二维自然单元法的理论基础上 ，把 自然单元法的理论推广到三维空间，采用Voronoi结构的边元素构造三维 自然单元的插值函数，并利用该函数推导动力学问题的离散格式 ，对于离散格式中时间域求解采用本中心差分 和Newmark常平均加速度法相结合的第一种积分格式进行，空间域采用高斯积分。采用大型数值软件ANSYS 模拟悬臂梁动力响应的计算结果作为基准，通过分片试验和悬臂梁等算例分别验证本文推导插值函数和动力 学问题的离散格式的正确性。通过对比可以发现大变形条件下，有限元方法将出现网格畸变使计算无法进行 ， 而本文方法则不会出现网格畸变，计算仍然可以进行。 关键词：自然单元法； 自然相邻结点插值；动力学问题 中图分类号：TU375．1；0241．82 文献标识码：A 文章编号：2095-0985(2011)04-0039-06 无网格法在动力学中的理论研究和应用已吸 无网格方法在动力学中得到广泛应用，自然 引了许多国内外学者，是计算力学中的一个研究 单元法作为无网格方法的一种也应该被应用到动 热点 ¨j。自然单元法 (NaturalElementMeth— 力学中。因此，本文详细推导和讨论 自然单元法 od，NEM)是最近出现的一种无网格方法，自1995 在动力学问题中离散方程和求解方法。 年Braun和Sambridge在 Nature上发表的 《Anu— mericalmethodforsolvingpartialdiffer--entialequa—- 1 位移函数 tionsonhighlyirregularevolvinggrids一文提出自 然单元法以来 ，以Voronoi图为几何基础的数值 1．1 近似位移函数 方法在国内外得到极大的关注．许多学者开展研 仿照二维Voronoi图的构建理论建立空间8 究 ，并在不同的工程技术领域得到一定的应用。 结点的Voronoi图结构。本文采用立方体的顶点 1998年，SukumarN 3将 自然单元法成功地应用 作为结点对空间进行划分，得到8结点的Voronoi 于求解固体力学中的椭圆型偏微分方程，并且构 结构，如图1所示。在图1中放人待插值点 ，并 造了c 自然相邻节点插值成功求解了椭圆型四 对8个结点Voronoi图进行二次划分，得到待插值 阶偏微分方程 。在此阶段，NEM形函数的构造采 点 的二阶Voronoi结构的1／8部分，如图2所 用的是 Sibson插值方法。2001年，SukumarN 示。根据空球规则寻找 自然相邻结点——若四面 采用了Non．Sibsonian插值方法构造 NEM形函 体的外接球包含待插值点，则该四面体的4个顶 数，从而使得 NEM 方法更为方便实用。Cueto 点即为待插值点的自然相邻结点。本文中采用的 E。。基于仅-shape的概念实现了三维分析。蔡永 是立方体，再有本文四面体的外接球等价立方体 昌、朱合华等 研究 了采用局部 Petrov．Galerkin 的外接球，因此 8个顶点既是待插值点 的自然 方法获得整体系统平衡的控制方程。卢波、葛修 相邻结点。 润等 ’研究了弱形式的数值积分方案，对 自然 标号为 1～8的8个结点构成了待插值点 单元法的原始应力数值解的精度进行了改善提