2017高中数学抽象函数专题.docVIP

三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。 解:---- （2） ---（3） 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x∈N*) 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、 解:， 3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值； （2）对任意的，，都有f(x1)+2logax2成立时，求a的取值范围． 解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴． （2）由，令得，由（1）知，∴．∵，∴在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，必有都成立.当时，,显然不成立．当时，，解得∴的取值范围是． 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决） . 练习：设f(x)定义于实数集上，当x0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。 证明：设R上x1x2，则f(x2-x1)1， f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 。 取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)10,x0时，-x0，f(-x)1,∴由，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性） 练习：已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x－时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数； 证明：设x1＜x2,则x2－x1－－,由题意f(x2－x1－)0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］0,∴f(x)是单调递增函数. 练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x1时,f(x)1。试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。 解:， ，所以f(x1)f(x2),故f(x)在R+上为减函数. 练习6、. 已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有(I)求的值；(II)求的最大值； (III)设数列的前项和为，且满足求证：解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。 故 即原式成立。 已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x= ）是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。 解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，，所以由得，解得。 （设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整） 例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 解答：(1)证明：f(x+y)=