推理与证明解答题精选(含答案).pdf

推理与证明 1． （1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60 . （2）已知 试用分析法证明： . 2．2．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 ． 3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案， 这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放 规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形． (1)求出 ， 并猜测 的表达式； (2)求证： ＋ ＋ ＋…＋ ． 4．数列 的前 项和 满足 . （1）计算 的值； （2）猜想数列 的通项公式并用数学归纳法证明. 5．(本小题满分13分) 已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f(x)＝，g(x)＝. (1)若正项数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明：{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若正项数列{an}满足an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn1； (3)若正项数列{an}满足an＋1＝g(an)，求证：|an＋1－an|≤·()n－1 6．命题 “若 ， ， ，则 ．”可以如下证明：构造函数 ，则 ，因为对一切 ，恒有 ，所以 ，故得 ． 试解决下列问题： （1）若 ， ， ， ，求证 ； （2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论． 7．已知 中至少有一个小于2。 8．已知 ，且 求证： 中至少 有一个是负数。 9． (本小题满分12分) 若数列 的通项公式 ，记 ． （Ⅰ）计算 的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）猜想 ，并证明． 10．已知 ．经计算得 ， ， ， ， ，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论． （1）试写出这个一般性的结论； （2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论； （3）对任一给定的正整数 ，试问是否存在正整数 ，使得 ？ 若存在，请给出符合条件的正整数 的一个值；若不存在，请说明理由． 11．已知定义在R上的函数 ， 定义： . (1)若 ，当 时比较 与 的大小关系. (2)若对任意的 ，都有使得 ，用反证法证明： . 12．真命题：若 ，则 . （1）用“综合法”证之 （2）用“反证法”证之 13．设数列{ }的前n项和为 ，并且满足 ， （n∈N*）. （Ⅰ）求 ， ， ； （Ⅱ）猜想{ }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； （Ⅲ）设 ， ，且 ，证明：