D9.2二重积分的计算法.pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 第九章 山东交通学院高等数学教研室 第二节 二重积分的计算法(一) 利用直角坐标计算二重积分 在D上连续时, 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 一、利用直角坐标计算二重积分 存在 特点？ 注: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 为计算方便, 则有 (2) 若积分域较复杂, X - 型域或Y - 型域 , 则 可将它分成若干 必要时还可以交换积分次序. 可选择积分次序, 例1 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1: 解法2: 将D看作X - 型区域, 将D看作Y - 型区域, 例2 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 及直线 则 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 例3 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 因此取D 为X - 型域 : 先对 x 积分不行, 注: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分次序. 由被积函数可知, 例4 交换下列积分次序 解: 视为X - 型区域 , 积分区域: 则D: 例5 交换下列积分次序 解: 视为Y - 型区域 , 则 积分区域由两部分组成: D 例6 计算二次 积分的值 解: 的原函数不是初等函数， 故需交换积分次序. 分析: 视为Y - 型区域 , 由于 积分区域 D: 则D: 例7 计算 其中D 由 所围成. 解: (如图所示) 令 例8 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 利用对称性, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 设两个直交圆柱方程为 考虑第一卦限部分, 内容小结 1. 直角坐标系下二重积分化为二次 积分的方法: 若积分区域为 则 若积分区域为 则 2. 计算步骤及注意事项 画出积分区域，求出曲线的交点 确定积分次序 写出积分限 计算要简便 —— 积分区域分块要少 二次积分好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 思考与练习 1.设 且 求 提示: 交换积分顺序, 将x , y互换 试将二重积分 及 y轴所围成. 2. 设 在区域D上连续, D是由直线 ，曲线 按两种积分次序化为二次积分 X-型区域： 提示： Y-型区域： 提示: 3. 交换积分次序 积分区域: X-型区域： * * * *