北京理工大学概率论3讲.pptVIP

性质3 若A1,…, An相互独立，则 证明： 例11. 甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。求 (1) 至少有一人射中目标的概率 (2) 恰有一人射中目标的概率 解 设A, B, C分别表示甲，乙，丙射中目标，D表示“至少有一人射中目标”，E表示“恰有一人射中目标”. 甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。 A, B, C分别表示甲，乙，丙射中目标，D表示“至少有一人射中目标” ?D=A?B?C 甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。 A, B, C分别表示甲，乙，丙射中目标，E表示“恰有一人射中目标” 例12. 下面是一个串并联电路示意图. 1、2、3、4、5、6、7、8是8个独立工作的元件。它们正常工作的概率分别为0.95, 0.95, 0.70, 0.70, 0.70, 0.75, 0.75, 0.95。求电路正常工作的概率. P(B)=P{A1 A2(A3 + A4 + A5)(A6 + A7) A8 } 由于各元件独立工作，所以 解： =P(A1)P(A2)P(A3 + A4 + A5)P(A6 + A7)P(A8) 以 Ai 分别表示上述8个元件中第 i 个元件正常工 作，以 B 表示电路正常工作，则 B=A1 A2(A3 + A4 + A5)(A6 + A7) A8 P(A6 + A7)=1- P(A3 + A4 + A5)= P(B) 0.782 其中 代入得 P(B)=P{A1 A2(A3 + A4 + A5)(A6 + A7) A8 } 思考：如图的两个事件是独立的吗？ 在实际应用中，除了要研究事件A的概率P(A)之外，有时还需要研究在事件B已经发生的条件，事件A发生的概率。我们称这种概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，记为 §1.3 条件概率和乘法公式 P(A|B) 一般说来 P(A|B)? P(A) 一. 条件概率 P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， B中共 ? P(A )=1/6. 容易看到 P(A|B) 有3个元素，它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集 A 中 于是 P(A|B)= 1/3 再如，将一枚硬币抛掷两次，观测其出现正反面的情况。设事件A={至少出现1次H}，事件B={两次掷出同一面} 。现已知事件A已经发生，求事件B 发生的概率。 于是 P(B|A)= 1/3 容易看到 P(B|A) 样本空间为S={HH, HT, TH, TT} 事件A={HH, HT, TH}, 事件B={HH, TT} ? P(B)= 2/4. 条件概率P(A|B)实质就是缩减的样本空间上的事件的概率：由于已知事件B已经发生，试验条件发生了改变，原样本空间S缩减为B,需在该空间上计算事件A发生的概率。 可以证明，在古典概型下，若P(B)0, 有 设A、B是两个事件，且P(B)0，则称 1. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率. 2. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)0，则P(.|B)满足概率的三条公理，即 (1). 非负性：对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; (2). 规范性： P (S | B) =1 ； (3). 可列可加性：设 A1,…,An…互不相容，则 条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质 如 （2） 在缩减的样本空间上计算 3. 条件概率的计算 （1） 用定义计算: P(B)0 掷骰子 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} P(A|B）= B 发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A 所含样本点 个数 解法1: 解法2: 应用定义 在A发生后的 缩减样本空间 中计算 例6. 一盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品。从中取产品2次，每次任取一件，做不放回抽样。设事件 A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求P(B|A). P(AB)=P(B)P(A|B) (1) 二. 乘法公式 公式（1）和（2）均称为概率的乘法公式或称为概率的乘法定理。 如果 P