2010数学协作体夏令营专题六——专题十.docVIP

专题六 几何变换与应用 东北育才学校 彭玲 一．知识要点 1．合同变换 保持两点距离不变的平面几何变换称为合同变换。 在合同变换下，共线点变为共线点，共点线变为共点线，射线变为射线，角变为相等的角，三角形变为与其全等的三角形。即：合同变换下不改变图形的形状和大小，只改变其位置。合同变换有：平移、反射和对称三种形式。 2．平移变换 把图形G中的每一点沿着同一方向移动相同的距离，得到图形，从图形G到图形的变换叫做平移变换。其中叫做平移向量。记作。 性质1 平移变换下的两组对应点构成一个平行四边形； 性质2 平移变换把任意图形变换成与它全等的图形。 3．反射变换 给定平面上的一条直线l，从这个平面上的点到关于对称轴l的对称点的变换叫做反射变换（或叫做对称变换）。记作。 性质1 对称轴是任一对对应点的连线段的垂直平分线； 性质2 反射变换把任意图形变换成与它全等的图形。 4．旋转变换 将图形G中的每一点绕同一定点O按同一方向（逆时针或顺时针）旋转同一大小的角度后得到图形， 从图形G到图形的变换叫做旋转变换。其中O点叫做旋转中心，叫做旋转角。这种变换简记为。 性质1 旋转变换保持线段的长度和角度的大小均不变； 性质2 旋转变换把任意图形变换成与它全等的图形。 5．相似变换 一个平面上的点到自身的变换，如果对于平面上任意两点A、B，以及对应点A’、B’，总有（k为正实数），那么这个变换叫做相似变换。其中k叫做相似比，相似比为k的相似变换记作H（k）。 性质1 在相似变换下，共线点对应共线点，射线对应射线，角对应角； 性质2 相似变换保持三点的单比不变，即若，则； 性质3 相似变换保持两直线夹角的大小不变； 性质4 相似变换把一个图形变为与它相似的图形。 6．位似变换 设O是平面上一定点，H是平面上的变换。若对任一对对应点P、P’都有（k为非零实数），则称H为位似变换。记为H（O，k），其中O叫做位似中心，K叫做位似比。 （1）位似变换是相似变换的一种特殊形式。 （2）定义中的条件“”等价于如下三个条件： ①O、P、P’三点共线； ②； ③当时，P、P’在点O的同侧，当时，P、P’在点O的异侧。 （3）在位似变换下，任何一条不过位似中心的直线变成与它平行的直线；过位似中心的直线是不变的直线；对应线段之比相等；对应角相等且转向相同。 7. 反演变换 设是平面上的一个定点，是一个非零常数，如果平面的一个变换，使得对于平面 上任意异于的点与其像点，恒有 （1）共线； （2） 则这个变换称为平面的一个反演变换，记作，其中定点称为反演中心，常数称为反演幂，点称为的反点。 性质1. 在反演变换下，不共线的两对互反点共圆。 性质2. 在反演变换下，，有。 性质3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆，过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线，不过反演中心的圆的反形是不过反演中心的圆。 性质 4. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小不变，方向相反。 二．范例选讲 例1（2004年俄罗斯数学奥林匹克）点M位于平行四边形ABCD内部，点N位于内部，使得。求证：MN∥AB。 分析：利用平移，将已知角联系起来，寻求证明思路。 证明：过点M作MM’平行且等于BA，则 就是的平移 ∵ ∴ A、N、D、M’四点共圆 ∴ ∴ ∴ M、N、M’三点共线 故 MN∥AB 例2 如图，在中，，，P、Q为边AB上的两点，且。求证：。 分析：要证，只须设法将AP、BQ、PQ这三条线段集中在一个直角三角形中，使得PQ为斜边，AP、BQ为两条直角边即可。根据题设条件可以利用轴对称来实现。 证明：如图，作，截取，连MQ、PM 易证 ∴ ， 又∵ ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ∴ 评注：在上述证明中，实际上是将BC关于CQ轴对称，CA关于CP轴对称，两个对称图形都是线段CM。这样，巧妙地将线段AP、BQ、PQ这三条线段集中中，从而使问题得以解决。 例3（2004年克罗地亚数学竞赛）已知点A、B、C在某平面上，设D、E、F、G、H、I是同一平面上的点，且使得为正定向等边三角形。求证：点E是线段AI的中点。 证明：考虑如图所示的情形，点A、B、C的位置改变时可类似地证明。 在中， ∵ 又 ∴ 绕点F顺时针旋转，变换为 同样地，绕点H顺时针旋转，变换为 又绕点A顺时针旋转，线段变换为线段AE ∴ 且AE和EI与AD的夹角都等于（顺时针），即A、E、I三点共线 故点E是线段AI的中点 例4（2003德国国家数学奥林匹克）如图，在的内部有四个半径相等的，其中均与的两条边相切，且与外切。求证：的内心、外心和在一条直线上。 分析：因为在位似变换下，一对对应点