2-5函数.pptVIP

●基础知识 答案：偶函数 二、判断函数奇偶性时忽视了定义域. 2.函数f(x)＝x2＋1，x∈(－1,3］的奇偶性为　　　　. 答案：非奇非偶函数 答案：奇函数 答案：1　1　0 答案：1 五、奇、偶函数的性质应用失误. 6.设f(x)、g(x)都是R上的奇函数，{x|f(x)＞0}＝{x|4＜x＜10}，{x|g(x)＞0}＝{x|2＜x＜5}，则集合{x|f(x)·g(x)＞0}的解集为　　　　. 解析：∵f(x)，g(x)都是奇函数，∴f(x)·g(x)是偶函数，由对称性可知，只需求f(x)＞0，g(x)＞0的解集， 答案：(－5，－4)∪(4,5) 失分警示：此解错在忽视“f(x)，g(x)都是奇函数，因而f(x)·g(x)是偶函数”的性质运用，导致结论出错. ●回归教材 1.(教材改编题)下列函数中奇函数有 (　　) ①f(x)＝－x＋2，(x∈R)②f(x)＝－3x5，x∈(0，＋∞) ③f(x)＝x3－x，x∈R　④f(x)＝lgx3 A.0个　　　 B.1个　　　 C.2个　　　 D.3个 解析：由函数奇偶性的定义可知f(x)＝x3－x是奇函数，故选B. 答案：B 2.若y＝f(x)，x∈R是奇函数，则下列各点一定在函数y＝f(x)的图象上的是 (　　) A.(－a，－f(－a))　　　　　B.(a，f(－a)) C.(a，－f(a)) D.(－a，－f(a)) 解析：∵y＝f(x)，x∈R是奇函数，∴f(－x)＝－f(x). ∴f(－a)＝－f(a) 故选D. 答案：D 3.(2008·辽宁卷)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝ (　　) A.－2　　 B.－1　　 C.1　　 D.2 答案：C 答案：0 5.(2010·江苏，5)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为　　　　　　. 解析：∵f(－x)＝f(x)对任意x均成立， ∴(－x)(e－x＋a·ex)＝x(ex＋ae－x)对任意x恒成立，∴x(－aex－e－x)＝x(ex＋ae－x)， ∴a＝－1. 答案：－1 总结评述：第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该图象为非奇非偶函数.第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断.第三，利用定义域进行等价变形判断.第四，分段函数应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断.另外函数的奇偶性有以下几种情况： (1)只是奇函数； (2)只是偶函数； (3)既是奇函数又是偶函数； (4)非奇非偶函数. 提醒 (1)讨论函数的奇偶性时易忽视对定义域的确定； (2)分段函数的奇偶性判定往往只讨论一部分后便作出判断，而忽视定义域内其他部分而致错. 其中正确命题的序号是　　　　　　. ②a≠0时，f(－x)＝|－x－a|－|－x＋a| ＝|x＋a|－|x－a| ＝－(|x－a|－|x＋a|) ＝－f(x)，是奇函数， a＝0，f(x)＝0，既是奇函数又是偶函数. ③当x0时，－x0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－f(x)， 当x0时，－x0， ∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3 ＝－f(x) 当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0， ∴f(x)是奇函数. ④∵x≠－，但x可取，∴函数f(x)的定义域关于原点不对称，∴f(x)无奇偶性. 答案：①④ 周期性是函数的重要性质之一，常与函数的奇偶性、对称性综合在一起.牢牢把握周期性定义，掌握一些常见的结论是解决问题的关系. 【例2】　已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x). (1)求证：f(x)是周期函数； 规律方法：1.周期函数问题，在考查中常有两类表现形式：一类是研究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性.抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明，证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发，推导满足周期定义的等式，从而在证明函数为周期函数的同时求出周期. 2.若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是函数f(x)的周期(k为非零整数)，这就是说，一个函数如果有周期，就有无数个. 3.若f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)恒成立，其中a，b均为常数，且a≠b，则T＝|a－b|是函数f(x)的一个周期. 4.根据函数周期性，可求某区间上函数解析式，画出某区间上图象或求某一函数值. 定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈［－1,1］时，f(x)＝x3，则f(－2009)的值是