2-4函数.pptVIP

●基础知识 ●易错知识 解析：A是减函数，B中y2＝x(x＞0)． 由二次函数的图象可知x∈(0,2)上是增函数，C中y＝(x－2)2＋1在x∈(0,2)上是减函数，D是反比例函数是减函数． 答案：B 答案：(－∞，0)，(0，＋∞)　(－∞，0)，(0，＋∞) 4．函数f(x)＝log5(x2－2x－8)的增区间是________；减区间是________． 答案：(4，＋∞)　(－∞，－2) 5．(2010·华东师大附中模拟题改编)已知函数f(x)＝mx2＋x＋5 ①若y＝f(x)的增区间为[2，＋∞)，则m的值为____________； ②若y＝f(x)在[－2，＋∞)上为增函数，则m的取值范围是____________； ③若y＝f(x)在[－1,2]上单调，则m的取值范围是____________． 函数的单调性是对“区间”而言的，反映了函数在某一区间上函数值的变化趋势，是函数在某一区间上的“整体”性质，该区间是定义域的子集．复习时，特别注意：①定义中的x1、x2是同一连续单调区间内的任意两个自变量，有大小之分，习惯规定x1x2，不可用特殊值代替．②函数单调性定义是充要性命题，所以其中的不等关系可以“互逆互推”，即若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)f(x2)?x1x2(或x1x2)．若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例即可． 总结评述：由于函数f(x)是奇函数，只要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它在对称区间(－1,0)上的单调性，故在判断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2，否则，若直接在(－1,0)∪(0,1)上任取x1x2，则f(x1)－f(x2)变形后的符号便不能判断．综合利用函数的单调性与奇偶性是解决本题的关键． 命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明．(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形． (2)函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数，证明如下： 任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x2x1≥1， 则f(x1)－f(x2)＝(－x＋2x1＋1)－(－x＋2x2＋1)＝(x－x)＋2(x1－x2)＝(x2＋x1)(x2－x1)＋2(x1－x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)． ∵x2x1≥1，∴x2－x10，x2＋x12，x2＋x1－20， ∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)0， 即有f(x1)f(x2)． 故函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数． 总结评述：对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解．可导函数则可以利用导数解之. 形如f[g(x)]的函数叫复合函数，它由内、外两层函数组成．判断复合函数单调性、求解函数单调区间的依据是“同增异减”．所以复习时，应先分清谁是外层函数、谁是内层函数，各自的单调性怎样，然后依据“同增异减”的原则进行整个函数单调性的判断． 分析：①判定函数的单调性方法有图象法、定义法、利用已知函数的单调性法、求导法． ②研究复合函数的单调性，应首先求函数的定义域，然后在函数的定义域内进行求解． ③判断或证明可导函数f(x)在 (a，b)内的单调性的步骤： (ⅰ)求f′(x)； (ⅱ)确认f′(x)在(a，b)内的符号； (ⅲ)作出结论． ③y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令y′＞0得x＞1或x＜－1， 由y′＜0得－1＜x＜1， ∴y＝x3－3x的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)． 规律总结：讨论复合函数单调性的步骤是： (1)求出复合函数的定义域； (2)把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性； (3)把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； (4)根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性． 另外函数的单调区间是包含于函数的定义域的，因此在求函数单调区间时应先确定函数的定义域，解决函数问题坚持定义域优先的原则． 点评：g(x)是由y＝f(t)与t＝logax两函数复合而成，因而利用复合函数的单调性的规律求解. 此类问题形式灵活，常与不等式等内容综合考查函数的单调性． 规律总结：该类问题，主要是指依据函数单调性的定义，把函数值的不等关系转化为自变量的不等关系，进而得到具体的不等式，求出字母的取值范围．有时还让确定字母的范围使已知的函数在某个区间上满足一定的增减性．解决本考点问题，必要时需画出函数的图象，因此涉及到数形结合的数学思想和转化与化归的数学思想. 抽象函数的题目要充分利用函数的性质，想法去掉函数符号“f ”，使之成为具体函数，然