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* * 第 7 章 应力状态分析 7-1 点的应力状态的概念 为什么研究点的应力状态？ 基本变形 横截面应力 建立强度条件 只有正应力或只有切应力 复杂加载 组合变形 横截面应力 既有正应力又有切应力 F y z a l y z q 危险点 斜截面的应力什么样？ 应力的定义 有大小，有形状 拉压 扭转 通过同一点所取截面方向不同，应力的大小不同，应力既是点的位置的函数，也是通过该点的截面方位的函数。 应力状态：通过同一点不同方位截面上的应力的集合。 点的概念： 通常用正六面体表示，称为单元体。 拉压 单元体的取法： 以应力已知的截面为坐标平面取正六面体。 dx 扭转 弯曲 dx F F dx 应力分析的目的： 从应力已知的截面出发求其它任意截面的应力， 找最大正应力和最大切应力及其方位 应力分析的任务： 构件复杂受力下的强度计算。 主平面：切应力为 0 的平面。 主应力：主平面上的正应力。 一个单元体至少有三个（三对）主平面和三个主应力。 按 代数值 (而不是绝对值) 排列三个主应力。 三向应力状态 二向(平面)应力状态 单向(简单)应力状态 主单元体 7-2 平面应力状态分析——解析法 求：任意斜截面（ 截面） 截面外法线 n 与 x 轴之间的夹角， x 到 n 逆针向转动为正。 已知： x y x n n 互相垂直的截面上， 正应力之和为常数。 主平面上正应力取极值 主平面成对出现。一个 主应力取极大值，另一 个主应力必取极小值。 切应力互等定理。 例 7-1 从工字钢悬臂梁的固定端 A 点取出单元体如图所示。 已知： 求： 截面的正应力和切应力； 主应力大小和主平面方位及 A 解： 主平面 F x 作业： 7-1（b） 7-2（b,c） 上 节 回 顾 什么叫一个点的应力状态？ 如何从构件中分离一个点的单元体？ 什么叫主平面？什么叫主应力？ 一个点有几个主平面和主应力？ 什么叫三向应力状态？ 什么叫二向应力状态？ （ 代 数 值 ） 如何求二向应力状态斜截面的应力？ 如何求二向应力状态的主平面和主应力？ 最大切应及 其作用面？ 消去 圆心 半径： 应力圆 作法 x y C 7-3 平面应力状态分析——图解解析法 x y 同理可证明 点面对应， 转向一致， 转角加倍。 C n 例 7-2 用应力圆求解图示单元体 解： 作应力圆 从 点逆针向取 确定 点 测量 点的坐标得到 主应力 主平面 最大切应力 图解法定性，解析法定量 取 C 例 7-3 用解析法和图解法分别求单元体 解： 代入公式： 解析法 x 40 -60 -10 -10 50 图解法 （逆针向） （顺针向） 切应力最大与最小的截面上， 正应力大小相等。 互相垂直的截面上，正应力 之和为常数; 主平面上，主应力取得极大或极小。 C（-10，0） R = 50 40 30 -10 50 C 。 。 7-4 简单三向应力状态分析 一个单元体至少有三个（三对）主平面和三个主应力。 按 代数值 (而不是绝对值) 排列三个主应力 三向应力状态 二向(平面)应力状态 单向(简单)应力状态 主单元体：全部由主平面构成的单元体 例 7-4 求下列三向应力状态的应力圆。 y x z 50 30 40 100 解： 先求解三个主应力 作 xz 平面应力圆 C ( 10, 0 ) 做三向应力圆 C 单向拉（压） 两向等拉（压） 纯剪切 三向等拉（压） 主应力相等时 主平面可以有无数多个 ! 作业： 7-4（a） 7-5 7-6（d） C 点面对应， 转向一致， 转角加倍。 上 节 回 顾 单向拉（压） 两向等拉（压） 纯剪切 三向等拉（压） 主应力相等时 主平面可以有无数多个 ! 单剪应力状态 C C 7-5 广义胡克定律 应力——应变：固体力学的基本矛盾和基本关系。 主应变：主应力方向产生的应变。 有大小 有方向 有正负 单独作用 单独作用 单独作用 广 义 胡克定律 线应变 平面应力状态的广义胡克定律 体积应变 K : 体积弹性模量