新课标高三数学第一轮复习单元讲座第31讲 不等式性质.docVIP

新课标高三数学第一轮复习单元讲座（31）—不等式性质 一．课标要求： 1．不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景； 2．基本不等式：（a,b≥0）①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。 的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。 三．要点精讲 1．不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法 ； ； 。 定理1：若，则；若，则．即。 定理2：若，且，则。 定理3：若，则。 定理3推论：若。 定理4．如果且，那么；如果且，那么。 推论1：如果且，那么。 推论2：如果， 那么 。 定理5：如果，那么 。 2．基本不等式 定理1：如果，那么（当且仅当时取“”）。 定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”） 3．常用的证明不等式的方法 （1）比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。 （2）综合法 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。 综合法证明不等式的逻辑关系是：，及从已知条件出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论。 （3）分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。 （1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”； （2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。 四．典例解析 例1：（1）设，已知命题；命题，则是成 立的 （ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B。解析： 是等号成立的条件。 （2）若为△ABC的三条边，且，则（ ） A． B． C． D． 答案:D．解析：， 又∵ ∴。 （3）设x 0, y 0,, ， a 与b的大小关系 （ ） A．a b B．a b C．a b D．a b 答案：B。解析：。 （4）b克盐水中，有a克盐（），若再添加m克盐（m0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 . 答案： ．解析:由盐的浓度变大得． （5）设 ． 答案： 。解析：。 例2：已知a, b都是正数，并且a ( b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2 答案：证：(a5 + b5 ) ( (a2b3 + a3b2) = ( a5 ( a3b2) + (b5 ( a2b3 ) = a3 (a2 ( b2 ) ( b3 (a2 ( b2) = (a2 ( b2 ) (a3 ( b3) = (a + b)(a ( b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 0 又∵a ( b，∴(a ( b)2 0 ∴(a + b)(a ( b)2(a2 + ab + b2) 0 即：a5 + b5 a2b3 + a3b2 例3 设，当时，求证：。 解析：， ∴。 例4：（1）已知是正常数，，， 求证：，指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数（）的最小值， 指出取最小值时的值． 答案：，故．当且仅当，即时上式取等号； ⑵由⑴得．当且仅当，即时上式取最小值，即． 【】,∴xy≤()2. 当且仅当x=y=时等号成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2. 2．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值是 ( ) A. 0 B.