《导数及其应用》单元总结.docVIP

【导数及其应用】单元总结 一、导数的概念： 1、平均变化率： 设函数，当自变量x由x1变到x2时，变量y相应由y1变到y2，则，称为函数从x1到x2的平均变化率（其中记，） 2、导数的概念： 当自变量x由x0变到x0+△x时，函数的平均变化率为，当△x→0时在x=x0处的瞬时变化率，称为函数在x=x0处的导数。记作：或。叫做函数的导函数。 3、导数的几何意义和物理意义： （1）物理意义：对于质点运动方程在t=t0处的导数就是质点在时间为t0时的瞬时速度 ； （2）几何意义：对于函数在x=x0处的导数就是曲线在x0处的切线的斜率k . 二、导数的计算： 1、基本初等函数的求导公式： 基本函数 导数 基本函数 导数 . . 2、导数的四则运算法则： （1）两个函数的和（或差）的导数： . （2）两个函数的积的导数： , . （3）两个函数的商的导数： g(x)≠0）. 3、复合函数的导数： 设，则复合函数的导数为： . 练习题： 1、求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 2、若，则 . 3、已知，则 . 4、设函数，若=4，则a= . 5、若质点的运动方程为，则质点在t=1时的瞬时速度为 . 6、子弹在枪管中的运动可看作匀速直线运动，若a=5×105 m/s2，的图象在点处的切线的斜率为 . 8、函数的图象在点x=1处的切线方程为 . 9、过点P(-1,2)且与曲线y=x2在点M(1,1) 处的切线垂直的直线方程是 . 10、过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程是 . 11、已知曲线的一条切线平行于直线y=3x-5，则切点坐标为 . 12、已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3)，则b的值为 . 13、若曲线y=x3-2x+m与直线y=x+1相切，则常数m等于 . 14、已知直线和均与曲线y=x2-x相切，且⊥，的切点为A(1,0)，求直线的方程.（一）函数的单调性与导数： 1、在区间 (a,b) 内，若，则f(x)在 (a,b) 上是增函数； 若，则f(x)在 (a,b) 上是减函数； 2、越大，曲线越“陡峭”， 越小，曲线越“平缓”. 练习题： 1、求下列函数的单调区间，并描出函数的大致图象： （1） （2） （3） （4） 2、函数的递增区间是 ；函数的递减区间是 . 3、设是函数的导函数，的图象如左图所示，则的图象可能是( ) 4、下列函数中，在(0,+∞)内是增函数的是( ) A. B. C. D. 5、函数y=xlnx在区间(0,1)上( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 6、对于R上可导函数f(x)，若满足 ，则 ① ； ② ； ③；④ 中一定成立的是 . 7、若函数在（-∞,+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是 . 8、已知函数在区间[2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 . 9、如图，水以恒速注入下面四种底面积相同的容器中，则与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系的图象分别是 . （二）函数的极值与导数： 1、对于函数，若且 ① 在x0附近左增（）右减（），则是极大值，此时x0叫极大值点； ② 在x0附近左减（）右增（），则是极小值，此时x0叫极小值点； 2、注： ① 函数的极值是刻画函数的局部性质，一个函数可能有多个极值，且极大值不一定大于极小值； ② 若，x0不一定是函数的极值点，如，，是单调增函数，虽有，但x=0不是函数的极值点。 练习题： 1、求下列函数的极值： （1） （2） （3） （4） 2、已知函数在x= -2和x=1处取得极值，则的解析式为 . 3、函数在x=1时有极值2，则a= ，