2.3离散型随机变量的均值、方差习题课.pptVIP

4.某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影响． (1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差； (2)设答对一个题目得10分，否则扣一分，求该同学得分η的期望与方差． 从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定．从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强． (2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为： β α P －2 2 η * 离散型随机变量的期望与方差习题课 要点梳理 1.若离散型随机变量X的分布列为 pn … pi … p2 p1 P xn … xi … x2 x1 X (1)均值 称E(X)=_________________________ 为随机变量X的均 值或______________. 它反映了离散型随机变量取值的__________. x1p1+x2p2+…+xi pi+…+xn pn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 2.离散型随机变量的均值与方差 其中_________________为随机变量X的标准差. (2)方差 称D(X)= 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________ 注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 3.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=__________. (2)D(aX+b)=________.(a,b为常数) 4.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_______. (2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________. aE(X)+b a2D(X) p(1-p) np(1-p) np 【例1】设随机变量ξ具有分布P(ξ=k)= k=1,2,3,4,5,求Eξ2,D(2ξ-1), 题型一、 均值与方差性质的应用 解 ∵利用性质E(aξ+b)=aE(ξ)+b, D(aξ+b)=a2D(ξ). D(2ξ-1)=4D(ξ)=8, 1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望和方差; (3) 求“所选3人中女生人数X≤1”的概率. 超几何分布 题型二、 求离散型随机变量的期望、方差 练1.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取 3件,若ξ表示取到次品的个数,则E(ξ)=____. 解析 ξ的取值为0,1,2,3,则 练2.(2009·上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E(ξ)=______(结果用最简分数表示). 解析 ξ的可能取值为0,1,2, 2.某运动员投篮的命中率为p=0.6. (1)求一次投篮时命中次数ξ的均值;方差; (2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差. (1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为： 0.6 0.4 P 1 0 ξ 则Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6, Dξ=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24. (2)重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)， 故Eξ=5×0.6=3. Dξ=5×0.6×0.4=1.2. 求离散型随机变量的均值和方差，首先应明确随机变量的分布列. 3. (2009·湖南理,17)为拉动经济增长,某市决 定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分 别占总数的 有3名工人独立地从中任选一 个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望. 二项分布 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民 生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2, 3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立, C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i、