反函数问题的不求艺术.docVIP

反函数问题的不求艺术 费新慧 反函数是函数中最基本的概念，在高考中常以小题形式考查。对于一些反函数问题，只要充分理解反函数的概念，弄清原函数和反函数的定义域、值域之间的关系，了解互为反函数的图象间的关系，则可不必求出反函数的解析式便能迅速获解。本文列举几例，谈谈反函数问题的不求艺术，供同学们参考。 例1 的反函数是（ ）。 A. B. C. D. 解析：由，得，所以原函数的定义域为［1，2］，值域为［0，1］，则反函数的定义域为［0，1］，值域为［1，2］。通过观察四个选项，知答案为B。 点评：利用互为反函数的两个函数的定义域、值域间的互换关系解题，可化繁为简，快速准确。 例2 函数的反函数的图象大致是（ ） A B C D 解析：由原函数不难得到反函数的定义域为，根据定义域可排除选项A、C，又点（1，0）在原函数的图象上，所以点（0，1）在反函数的图象上，排除D，从而选B。 点评：若函数的图象经过点（a，b），则它的反函数的图象必过点（b，a），反之也成立。利用这一结论，可避繁就简，轻松解题。 例3 若函数，则_________。 解析：设，则，即，解得，故。 点评：设函数的反函数为，则。本题巧妙利用这一结论，回避了求，解法简捷明快。 例4 已知函数的图象关于直线对称，求a的值。 解析：因函数的图象关于直线对称，所以函数的定义域和值域相同。又函数的定义域为，值域为，则，即得。 点评：若函数的图象关于直线对称，则，即的定义域和值域相同。解题中若能适时运用这一结论，可达到事半功倍之效。 例5 已知函数，若函数的图象与的图象关于直线对称，求的值。 解析：由题设知函数是的反函数，设，则，即，所以，可得。 点评：解决本题的常规思路是先由求，然后得，再求的反函数即，最后求的值。这里运用互为反函数的两函数间的关系，在的两边同取“f”，减少运算避免错误。但在解题时，我们常会有如下错解：先由得，然后将的反函数误认为是来求解。应引起同学们的注意。 第1页（共2页）