第五章角动量－关于对称性.pptVIP

* §5.1　力　矩 一、力的元功和功率 1．力和轴平行时，例如开门, 2．力和轴垂直时： （1） 如图(1)中：Z轴向上，则： 如图(2)中：Z轴向下，则： 此时: 　　角的规定：从　的正方向到力　的正方向的转动方向所经过的　角和Z轴正向成右手螺旋。 3.力和轴既不平行也不垂直时: （2） 二、力对某点的力矩(矢量) 如图(4)示：A点是受力质点，O为任意的参考点。 　　定义：力　对参考点O的力矩为力　的作用点A相对于参考点O的位置矢量　与力　的矢积(叉积)： （3） 大小： 方向： 构成右手螺旋系统。(注意:由　转至　的角 　是 　　　 ) 三、力对某点的力矩和力对轴的力矩的关系 (沿Z 轴正向) (沿Z 轴正向) 因此， 1. 特例：若力　位于和Z 轴垂直的平面内: 结论：力　对Z 轴的力矩等于力　对Z 轴上任意一点的力矩在Z轴上的投影。 2．一般情况 （4） 同理:对Z 轴上任意一点　也同样成立。 总结: 　　1. 力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关，还与轴与力的分力　之间的距离d 有关,即:与　　　和夹角　　　有关。若轴改变，力矩也变。 2. 力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置。 3. 力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的。 §5.2　质点的角动量定理及守恒定律 一、角动量 1. 质点对某点的角动量: 定义：质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积（叉乘）称为质点对该点的角动量，公式为： （1） 　　　　构成右手螺旋系统。 注意: (1) 因为　与　有关，故角动量　与参考系有关。 (2) 　与 有关，故角动量与参考点O 的位置有关。 2. 质点对某轴的角动量 （2） 　角：面对Z 轴观察，由　逆时针转至　所经过的角度。 　　或者：从　的正方向到动量　的正方向转动方向所经过的　角和Z轴正向构成右手螺旋法则。 3．二者之间的关系 即：质点对轴的角动量等于对轴上任一点的角动量在该轴上的投影。 （3） 二、角动量定理和守恒定律 1．对点的角动量定理 由质点的动量定理可知： 则 （ 是自参考点指向质点的位置矢量） （4） 即： 注：　和 　是对惯性系中同一点o的力矩和角动量。 （4） 　　（4）式表明：质点对参考点O的角动量对时间的变化率等于作用于质点的合力对该点的力矩，叫作质点对参考点O的角动量定理。 即：若质点所受的合力矩为零，则质点的角动量是守恒的。 注意： 若（4）式中的 　　　 ，则: （5） 　　由于角动量取决于参考点，而角动量守恒也与参考点的选择有关，可能对某一点的角动量守恒，但对另一点的角动量不守恒。 　　定义：对轴的角动量定理：质点对参考点O 的角动量定理（4）式在Z轴上的投影称为质点对轴的角动量定理： ?2．对轴的角动量定理和守恒律 （6） 若 　　　，则：　　 质点对轴的角动量守恒定律 （7） 当然：由（4）式 （8） 例如： 　　1．质点受弹簧的拉力是一有心力，该力对力心的力矩为零，则质点对该力心的角动量守恒；但换为另一点时，角动量不一定守恒。 　　2．行星受万有引力作用，是一有心力，力心在太阳中心，行星受的力对太阳中心的力矩为零，故行星的角动量守恒。 即： （1）面积速度（单位时间内扫过的面积　　　　）相等 　　（2）平面运动，即　　　的矢量方向不变，而此方向又垂直于　、　所决定的平面，即运动平面。 注意：有心力作用下，角动量不一定守恒，取决于参考点的选取。 例题 　　1. 一个具有单位质量的质点在力场 中运动，其中t是时间，设该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。 §5.3　质点系的角动量定理及守恒定律 一．质点系对参考点的角动量定理及守恒律 1．质点系的角动量 定义：质点系内各质点对于参考点O的角动量的矢量和称为质点系对O点的角动量 ： （1） 注意：（1）式中的 是相对于惯性系的。 2．质点对于参考点的角动量定理 取第i 个质点： 对式中所有质点求和得： 因对O点的力矩为: 故， 　　即：质点系的内力矩的矢量和为零；另一种定性解释：如图示， 　　　是以　　为底，高为 h 的三角形面积的2倍;同理: 是以 为底，高为 h 的三角形面积的2倍，这二个三角形是同底等高的，故而面积相等，即: 　　＝　　　 ，但二者的方向是相反的。所以，二者的和为零。 因此， 质点系对某参考点的角动量定理 即， （2）