妙用导数简化计算.docVIP

妙用导数，灵活解题 江苏省徐州高等师范学校数学组 221116 张娟 我们知道，函数是高中数学最重要、最基础的内容，它犹如一根红线贯穿其中，故历年的高考试题中函数的知识点和函数思想均占有相当的地位，而有些试题如果利用导数方面的知识则可以简化计算，现仅举几例。 例1：设，则的单调递增区间是 （1997年上海高考题） 解：设，则 当时，即时，函数是递增的 解，得 例2：圆在点处的切线方程为（ ）（2004年全国高考题） 解：由得即 故在处的斜率 故方程为即，故选D。 例3：设是二次函数，方程有两个相等的实根，且 （1）求的表达式 （2）求的图象与两坐标轴所围成的图形面积（1995年上海文科高考题） 解：（1）设，则 又已知， 方程有两个相等实根判别式即 故 （2）依题意，有 所求面积 点评：本题属于考查导数和积分的求法，利用求导公式和面积积分公式即可简便求解。 例4：设，求函数的单调区间（2003年天津理科高考题） 解： 当时， （1）当时，对所有，有 即，此时在内单调递增 （2）当时，对，有，即，此时在内单调递增，在内单调递增，又知函数在处连续，因此，函数在内单调递增 （3）当时，令，即， 解得或 因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增 令，即，解得因此，函数在区间内单调递减 点评：本题主要是考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。 相应与刚才几题，我们看下面的习题： 例5：设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性。（2001年北京高考题） 解法一：函数的定义域为， 取，且，那么 即在内是减函数 同理可证在内是减函数 法二：函数的定义域为， 又 故在及上都为减函数 点评：本题考查函数的单调区间及函数的单调性，如果利用函数的单调性定义证明较为烦琐而利用导数的性质则简单明了。 例6：设，是R上的偶函数， 求的值 证明在上是增函数（2001年天津理科高考题） 解：（1）依题意，对一切有，即 所以对一切成立，由此得到即又因为，所以 证明一，设， 由于，得 ，即在上是增函数 证明二：由，得 当时，有，此时， 所以在上是增函数 点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算以及综合分析问题的能力，对于（1）题，解题思维的闪光点是利用函数的奇偶性，把函数问题转化为方程问题，从而寻得思路，对于（2）题，两种方法都能证出来，但很显然，证法二利用导数法，简洁明快，更为佳妙。 综合上面几例，都是利用导数等高等数学方面的知识简化了计算，提高了解题的速度和准确率，突出了创新精神和多种解题能力的培养。