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设 a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断与的关系，并证明你的结论． 分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1， 即( )?n+( )?n＜1，即可得到它们的关系． 解：当n=1，则a+b＞c； 当n=2，则a2+b2=c2； 当n≥3，则an+bn＜cn， 证明如下： ∵sinA= ，cosA= ， 而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1， ∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A， ∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1， ∴an+bn＜cn． 本题考查了三角函数的定义和它们的性质；也考查了代数式的变形能力和分类思想的运用以及勾股定理． 如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线滚动． 设△ABC滚动240°时，C点的位置为C′，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′．请你利用三角函数中正切的两角和公式： tan（α+β）= （tanα+tanβ）÷（1-tanα?tanβ）， 求出∠CAC′+∠CAA′的度数A． 过B作BD⊥AC于D，由等边三角形性质得：AD=1=CD，求出BD，求出tan∠CAC′和tan∠CAA′，代入公式求出 tan（∠CAC′+∠CAA′）的值，即可求出答案． 解：∵△ABC滚动240°时，C点的位置为C′，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′，过B作BD⊥AC于D，由等边三角形性质得：AD=1=CD，又因为正三角形ABC的高BD= ，tan∠CAC′= tan∠CAA′= ∵由公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα?tanβ）得：tan（∠CAC′+∠CAA′）= 本题考查了勾股定理，解直角三角形，等边三角形性质的应用，主要考查学生的阅读能力和计算能力 * *
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