线性代数第5章节第2节矩阵的相似与矩阵的对角化.pptVIP

用相似变换将方阵对角化 定理2 方阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的. x1a1+x2a2+…+xmam=0.即 l1x1a1+l2x2a2+…+lmxmam=0.一次次地左乘A, 得 上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式, 由于li各不相同, 故此行列式不等于零, 因而此矩阵可逆. 在此等式两边 右乘此矩阵的逆矩阵, 有 (x1a1,x2a2,…,xmam)=(0,0,…,0),即 xjaj=0 j=1,…,m.由于aj?0, 故xj=0 所以向量组a1,a2,…,am线性无关 因为复根必成对共轭出现, 故l1与l2不可能是复的, 故l1与l2为实根, 由l1l20, 知l1?l2. 于是由定理1推论知: 二阶矩阵有二个单根, 则必可对角化. 课后思考题 思考题解答 * 相似矩阵的定义及性质 定义 设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得 则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵， 对 进行运算 称为对 进行相似变换， 可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。 性质1 矩阵的相似关系是一种等价关系 或称矩阵 与矩阵 相似，记作 A ~ B （1）反身性： （2）对称性：若 （3）传递性： A ~ A A ~ B则B ~ A 若A ~ B,B ~ C,则A ~ C 性质2: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩 P 可逆 推论：若矩阵 与对角阵 相似， 则 是 的 个特征值。 性质3 性质2、3的逆均不真 利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式 k个 我们将 A 化为与之 相似的对角形矩阵，它的高次幂就容易表出 　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 证明 定理得证. 注意： 　　　如果 阶矩阵 有 个不同的特征值， 则 可对角化（与对角阵相似）． 推论 　 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 就能对角化． 证明 设λ1, λ2,…, λm是A的m个不同的特征值, α1, α2,…, αm依次是与之对应的特征向量, 现要证α1, α2,…,αm线性无关. 观察方程组 x1α1+x2α2+…+xmαm=0.等式两边左乘A: A(x1α1+x2α2+…+xmαm)=A0即 λ1x1α1+λ2x2α2+…+λmxmαm=0. 把上面m个等式合写成矩阵形式, 即 例1 设矩阵 求: (1) 与A相似的对角矩阵；(2) 相似变换矩阵P；(3) A100 . 因为 ， 解 所以A有两个特征值 当 时,解方程组 得基础解系 当 时,解方程组 得基础解系 . (1) 显然，A有三个线性无关的特征向量，所以A与对角矩阵 相似. (2) 以 作为列向量,得矩阵 Λ不唯一，排列顺序可以不同 因为 ，则 (3) 依此类推,得知 又由 例2 已知矩阵 (1) 求x与y; (2)求一个满足 的可逆矩阵P. （考虑从 着手求参数） 有时可以从迹相等入手 即 由上式得 解 因A与B相似， 故 比较等式两边λ的系数，得 x=0 y=1 此时 (2) 由B知A的特征值为2,1, ,且分别可求得A的特征向量 以 为列向量作矩阵 则P可逆,且 . 由特征值、特征向量反求矩阵 例3： 已知方阵 的特征值是 相应的特征向量是 求矩阵 解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。 因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。 即存在可逆矩阵 , 使得 其中 求得 例 4设二阶矩阵A, |A|0, 证明: A必可 对角化. 证明 |A|