【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1 平面直角坐标系课后知能检测 新人教A版选修4-4.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1 平面直角坐标系课后知能检测 新人教A版选修4-4 (时间40分钟，满分60分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是(　　) A．直线　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【解析】　M(2,2)在直线x＋y－4＝0上， 点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线． 【答案】　A 2．若ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【解析】　|AB|＝＝， |BC|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝|AC|≠|AB|，ABC为等腰三角形． 【答案】　A 3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为(　　) A．y＝cos x B．y＝3cosx C．y＝2cosx D．y＝cos 3x 【解析】　由得 代入y＝cos 2x， 得＝cos x′. y′＝cos x′，即曲线y＝cos x. 【答案】　A 4．将直线x＋y＝1变换为直线2x＋3y＝6的一个伸缩变换为(　　) A. B. C. D. 【解析】　设伸缩变换为 由(x′，y′)在直线2x＋3y＝6上， 2x′＋3y′＝6，则2λx＋3μy＝6. 因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较， ＝1且＝1，故λ＝3且μ＝2. 所求的变换为 【答案】　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．若点P(－2 012,2 013)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________. 【解析】　P(－2 012,2 013)经过伸缩变换得 代入x′y′＝k， 得k＝x′y′＝－1. 【答案】　－1 6．ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹是________． 【解析】　取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－2,0)、C(2,0)、D(0,0)． 设A(x，y)，则|AD|＝.注意到A、B、C三点不能共线，化简即得轨迹方程：x2＋y2＝9(y≠0)． 【答案】　以BC的中点为圆心，半径为3的圆(除去直线BC与圆的两个交点) 三、解答题(每小题10分，共30分) 7．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形． (1)x2－y2＝1； (2)＋＝1. 【解】　由伸缩变换 得 (1)将代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1， 因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示． (2)将代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x2＋＝1，如图(2)所示． 8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处．求城市B处于危险区内的时间． 【解】　 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)， 以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302， 台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N， 点B到直线y＝x的距离d＝＝20. 求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1， 所以城市B处于危险区的时间为1 h. 9. 图1－1－1 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1－1－1，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器． (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 【解】　(1)设曲线方程为y＝ax2＋. 因为D(8,0)在抛物线上，a＝－. 曲线方程为y＝－x2＋. (2)设变轨点为C(x，y)． 根据题意可知 得4y2－7y－36＝0， 解得y＝4或y＝－(不合题意)． y＝4. 得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)． C点的坐标为(6,4)．|AC|＝2，|BC|＝4. 所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令． 教师备选 10．已知A(－1,0)，B(1,0)，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，在圆C上是否分别存在一点P，使|PA|2＋|PB|2取得最小值与最大值？若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由． 【解】　假设圆C上分别存在一点