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如何解决最基本的计数问题 宋旭华 (1. 宣化科技职业学院，河北 宣化 075100) 摘要：应用加法原理和乘法原理解决了数学中的计数问题 关键词：加法原理、乘法原理、组合数学 随着现代经济和科技的飞速发展，各个领域都涉及到了数学的应用。而在这些应用中， 又尤其以数值计算的历史最为久远。从古代人们的结绳计事到现代的棋盘的完全覆盖问题， 都属于计数问题。计数问题是组合数字中研究得最多的问题，它几乎出现在所有的数字分支 中。既然计数问题无处不在，无处不有，那么我们就应该知道，解决计数问题的两个基本的 原则——加法原则与乘法原则以及运用这两个原则解决一些简单的实际计数问题。 在现实生活中，最基本的计数问题就是排列组合问题。例如：如果n 个队进行比赛（每 个队仅与其它各队比赛一次）总共应比赛多少次？怎样构造幻方？怎么样使铅笔不离纸面且 不重复地描出网络图？为了确定对付 “福尔豪斯”，应如何下赌注，计算牌型是福尔豪斯的 个数是多少？以上问题都是计数问题。正如这些问题所显示的那样，计数问题是多半发源于 数学消遣和游戏。无论是为了消遣，还是由于它们的美学兴趣，过去所研究过的许多问题对 于当代的纯粹科学或应用科学都是非常重要的。 不仅是数学中的一类重要问题，而且还是计算机科学，管理科学及其它许多科学中的一 些分支的数学基础。那么，既然计数问题应数如此广泛，我们就应该想方设法解决这类问题， 并掌握这些问题的方法。 认识加法原则和乘法原则 加法原则——设事件A 有m 种选取方法，事件B 有n 种选取方法，则选A 或选B 共 有m+n 种方法。例如：大于0 小于10 的偶数有4 个，即2、4、6、8；大于0 小于10 的奇 数有5个，即1、3、5、7、9，则大于0 小于10 的整数有9个，即1、2、3、4、5、6、7、 8、9，这里，事件A 指的是大于0 小于10 的偶数，事件B 指的是大于0 小于10 的奇数。 而大于0 小于10 的整数不外乎是偶数或奇数，即属于A 或B。以上对加法原则的表述我们 利用的是“选择”这个术语，其中的A 和B 是两类不同的，互不关联的两个事件，另外，这 种 “选择”可以推广到更多的不同类的，互不关联的事件，同样可以运用这种原则。 乘法原则——设事件A 有m 种选取方法，事件B 有n 种选取方法，那么选取A 以后再 选取B 共有m×n种方式。 下面我们看一下乘法原则的应用，例如：设从A到B有三条不同的道路，从B到C有2 条不同的道路，如下图所示： A B C 则从A经B到C 的道路是数为n 3×2 6。 加法原则和乘法原则的应用 下面我们应用加法原则和乘法原则解决几个实际问题。 例 1、从5位先生，6位女士，2位男孩和4位女孩中选取1位先生，1位女士，一位男 孩和一位女孩。共有5×6×2×4 240种方式 （由乘法原则）。而从中选取1个人的方式共有 5+6+2+4 17种方式 （由加法原则） 对于这道题，我们将分别选取1位先生，1位女士，1位男孩和1位女孩，看作是事件 A,B,C,D 的话，那么对事件A有5种选取方式，对于事件B有6种选取方式，对事件C有2 种选取方式，对事件D有4种选取方式。这就是一个典型的乘法原则的模型，那么选取A、 B、C、D共有5×6×2×4 240种方式；而从中选取1人的方式：选A或B或C或D，则选取 A有5种方式，B有6种，C有2种，D有4种。所以共有5+6+2+4 17种，这是一个加法原 则的应用模型。 以上是乘法原则和加法原则的简单应用，有些问题既可以用加法原则来解决，也可以用 乘法原则来解决，甚至综合应用这2个原则来解决会更方便一些。下面我们再看一下以下这 个问题： 例2、在1000到9999之间有多少个各位数字不同的奇数？解决这个问题的方法不止一 种，既可以应用乘法原则，也可以综合应用2个原则来解决。首先看一下： （法一）如图所示： × × × × 第 第 第 第 1 2 3