《模态分析与综合技术》03模态分析与综合-01摸态分析.ppt

第3章 模态分析 3.1 引言 单自由度系统的振动分析是多自由度系统（具有有限个自由度（广义坐标）的振动系统）振动分析的基础，在单自由度系统振动分析中已经形成的一些重要基本概念和分析结果，只需稍加引申即可适用于多自由度系统。 多自由度线性系统振动分析中唯一新增重要基本概念是模态。 单自由度系统与多自由度系统总称为集中参数系统（离散系统）。一般来说，一个n自由度系统，其运动规律可由n个二阶常微分方程来确定。 第3章 模态分析 3.1 引言 大多数工程振动系统都可简化多自由系统来研究 。即使是弹性体系统（连续系统或分布参数系统），经过离散化后，也可以转变为多自由度系统。 所以，多自由度系统振动理论是解决工程振动问题的基础。 在振动分析中，随着系统自由度数的增大，计算工作量成指数增长。 矩阵既可以为多变量问题提供简洁而又物理概念清晰的表示方式，同时又可以为解题提供系统而又规则的算法。所以矩阵是分析多自由度系统振动问题的有力工具。 第3章 模态分析 3.1 引言 本章所考察的振动系统限于常参数线性系统（叠加原理）。 同样还是基于叠加原理，一个多自由度系统的运动可以通过所谓模态变换，分解为若干个独立的模态运动，其中每个模态运动相当于一个单自由度系统。因此，可以非常方便地分别求出各个模态运动，再叠加后得到系统总的运动。这就是系统动力响应分析中的模态分析法。 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 设一n自由度线性振动系统，其运动微分方程为： 式中x是位移列阵；M与K分别为系统的质量与刚度矩阵（实对称），f(t)是激励列阵。 其自由振动微分方程可表示为： 设其解为： 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 将上式代入自由振动微分方程，可得： 这一方程具有非零解的条件是： 称为系统的特征方程。 1 无阻尼情形 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 由特征方程可解得n个不等正实根wi, wi称为系统的固有频率。 将各个不同的wi分别代入 可得下列主振型方程： 由此，可确定n个实矢量Xi，称为系统的主振型。（多自由度各点的运动既是时间的函数，又是空间的函数） 1 无阻尼情形 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 由下式 表示的运动称为系统的主振动。 可见，无阻尼线性系统的主振动都是谐振动。每个主振动有其固有的频率。在每个主振动中，各个位移分量振幅的相对大小与相位由主振型确定。 无阻尼线性系统的特征值和特征矢量都是实矢量，故称实模态。 1 无阻尼情形 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 主振型的一个重要性质是正交性。这种正交性表现为关于质量矩阵与刚度矩阵的加权正交性，即当i不等于j时 下面给出简单证明，由 1 无阻尼情形 有 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 将(a)式转置后再右乘以Xj，对第二式左乘XjT, 得 然后两式相减，得 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 然后两式相减，得 由于 所以 主振型的正交性得证。 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 当i=j时 mi称为模态质量， ki称为模态刚度。 则有： 证明非常简单。由 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 引入实模态矩阵A: 则上述结果可综合成矩阵形式： 下面介绍对上述振动系统分析的模态分析法。 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 引入如下实模态变换： 将上述实模态变换代入系统振动方程，再左乘以AT： 由上述正交性 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 可得： 于是，上式可写成n个标量形式： 可见，系统已经完全解耦了。各个yi称为模态坐标（模态响应）。 再由 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 再由 可得系统的物理坐标响应x，模态响应y的线性变换。 综上所述，一个n自由度的无阻尼线性系统的振动分析问题，可以通过实模态变换，可以转化为n个独立谐振子的模态响应问题，在求得各个模态响应后，再通过线性变换，就可得到原系统的响应。这就是模态分析法的精髓所在。 第3章 模态分析 3.2 实模态分析 1 无阻尼情形 例1 对于如图所示的两自由度系统中，设m=1kg, k=100N/m。试求系统的固