WISE硕士留学项目数学试卷.PDFVIP

WISE 硕士留学项目数学试卷 2x2 18 一（共8 分）利用极限的  定义证明lim 12 。 x 3 x 3 二（每题4 分，共16 分）求下列极限： x3 x 2 x sin x （1）lim （2）lim x 1 x 1 x 0 1 cosx (2x 1)5 x （3）lim （4）lim x 2 3  x  (2x 2x 5)(4x 7x ) x 0 （提示：第 （4）题，可以首先令y x x ，然后考虑lim ln y ，最后再求得lim y 。） x 0 x 0 三（每题4 分，共12 分）考虑下面一个分段函数  x 2 1, 当 x  2  f (x ) m (x 1) k , 当 1 x  2  2 x 4x 4, 当 x 1  （1） 求解k 和m 的值，使得函数f (x ) 是在(, ) 上的连续函数。 （2） 请问函数f (x ) 是在x 1上是否可导？为什么？ （提示：考虑在x 1上的左右导数f  (x ) 和f  (x ) 。） （3） 找出函数f (x ) 的递增区间和递减区间，并画出函数f (x ) 的图形。 四（共10 分) 利用中值定理证明，下列不等式对于所有实数 和 都成立， x y sin x sin y  x y (提示：【中值定理】如果一个函数f (x ) 在一个闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b) 上可导， f (b ) f (a ) 那么在 上只有存在一点 使得 ） (a,b) c f (c ) . b a 五 （每题5 分，共15 分）求下列导数dy / dx ： 2 ln x